Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^x*x^5

Gráfico de la función y = e^x*x^5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x  5
f(x) = E *x
f(x)=exx5f{\left(x \right)} = e^{x} x^{5} 
f = E^x*x^5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25000000002500000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exx5=0e^{x} x^{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−78.5938206116598x_{1} = -78.5938206116598
x2=−121.873072311935x_{2} = -121.873072311935
x3=−72.78111392386x_{3} = -72.78111392386
x4=−100.138144200895x_{4} = -100.138144200895
x5=−68.9303498571571x_{5} = -68.9303498571571
x6=−76.6520353100444x_{6} = -76.6520353100444
x7=−53.8663749209093x_{7} = -53.8663749209093
x8=−55.7053138027862x_{8} = -55.7053138027862
x9=−63.203700759395x_{9} = -63.203700759395
x10=−52.0468879719824x_{10} = -52.0468879719824
x11=−102.10838811719x_{11} = -102.10838811719
x12=−82.4881017429899x_{12} = -82.4881017429899
x13=−106.052879934533x_{13} = -106.052879934533
x14=−61.3116844143123x_{14} = -61.3116844143123
x15=−46.7486890118024x_{15} = -46.7486890118024
x16=−74.714319096109x_{16} = -74.714319096109
x17=−86.3946014159142x_{17} = -86.3946014159142
x18=−67.0140624380037x_{18} = -67.0140624380037
x19=−117.912691620425x_{19} = -117.912691620425
x20=−113.955573445251x_{20} = -113.955573445251
x21=−94.2366645482349x_{21} = -94.2366645482349
x22=−80.5392889805181x_{22} = -80.5392889805181
x23=−59.4301507848393x_{23} = -59.4301507848393
x24=−111.978366295904x_{24} = -111.978366295904
x25=−84.4399605227193x_{25} = -84.4399605227193
x26=−50.2506338869203x_{26} = -50.2506338869203
x27=−108.026952287924x_{27} = -108.026952287924
x28=−96.2021656600697x_{28} = -96.2021656600697
x29=−57.5607081773421x_{29} = -57.5607081773421
x30=−92.272998566361x_{30} = -92.272998566361
x31=−90.3113180352068x_{31} = -90.3113180352068
x32=−70.852928212213x_{32} = -70.852928212213
x33=−65.10486557711x_{33} = -65.10486557711
x34=0x_{34} = 0
x35=−48.4824588083384x_{35} = -48.4824588083384
x36=−115.933700055035x_{36} = -115.933700055035
x37=−110.002137787397x_{37} = -110.002137787397
x38=−119.89249785946x_{38} = -119.89249785946
x39=−104.079997294078x_{39} = -104.079997294078
x40=−88.3517901497362x_{40} = -88.3517901497362
x41=−98.1693663786158x_{41} = -98.1693663786158
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^x*x^5.
05e00^{5} e^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x5ex+5x4ex=0x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5x_{1} = -5
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
            -5 
(-5, -3125*e  )

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5x_{1} = -5
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−5,∞)\left[-5, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−5]\left(-\infty, -5\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x3(x2+10x+20)ex=0x^{3} \left(x^{2} + 10 x + 20\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−5−5x_{2} = -5 - \sqrt{5}
x3=−5+5x_{3} = -5 + \sqrt{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−5−5,−5+5]∪[0,∞)\left[-5 - \sqrt{5}, -5 + \sqrt{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−5−5]∪[−5+5,0]\left(-\infty, -5 - \sqrt{5}\right] \cup \left[-5 + \sqrt{5}, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exx5)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} x^{5}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exx5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} x^{5}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x*x^5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x4ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x4ex)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} e^{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exx5=−x5e−xe^{x} x^{5} = - x^{5} e^{- x}
- No
exx5=x5e−xe^{x} x^{5} = x^{5} e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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