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y=x^3(x+2)^2

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=x^3-6x^2+8x y=x^3-6x^2+8x
  • y=x^3(x+2)^2 y=x^3(x+2)^2
  • y=x^2+2x y=x^2+2x
  • y=x^2+2x-8 y=x^2+2x-8

  • Expresiones idénticas

  • y=x^ tres (x+ dos)^ dos
  • y es igual a x al cubo (x más 2) al cuadrado
  • y es igual a x en el grado tres (x más dos) en el grado dos
  • y=x3(x+2)2
  • y=x3x+22
  • y=x³(x+2)²
  • y=x en el grado 3(x+2) en el grado 2
  • y=x^3x+2^2

  • Expresiones semejantes

  • y=x^3(x-2)^2
Trazado el gráfico de la función/ y=x^3(x+2)^2

Gráfico de la función y = y=x^3(x+2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3        2
f(x) = x *(x + 2)
$$f{\left(x \right)} = x^{3} \left(x + 2\right)^{2}$$ 
f = x^3*(x + 2)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{3} \left(x + 2\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3*(x + 2)^2.
$$0^{3} \cdot 2^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{3} \left(2 x + 4\right) + 3 x^{2} \left(x + 2\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{6}{5}$$
$$x_{3} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 0)

       -3456  
(-6/5, ------)
        3125  

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{6}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[- \frac{6}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-2, - \frac{6}{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 x \left(x^{2} + 6 x \left(x + 2\right) + 3 \left(x + 2\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{6}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5}$$
$$x_{3} = - \frac{6}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{6}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5}, - \frac{6}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{6}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5}\right] \cup \left[- \frac{6}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5}, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \left(x + 2\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3*(x + 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{3} \left(x + 2\right)^{2} = - x^{3} \left(2 - x\right)^{2}$$
- No
$$x^{3} \left(x + 2\right)^{2} = x^{3} \left(2 - x\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^3(x+2)^2
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