Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(x*x+4*x+5)/x

Gráfico de la función y = log(x*x+4*x+5)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x*x + 4*x + 5)
f(x) = ------------------
               x
f(x)=log⁡((xx+4x)+5)xf{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\left(x x + 4 x\right) + 5 \right)}}{x} 
f = log(x*x + 4*x + 5)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((xx+4x)+5)x=0\frac{\log{\left(\left(x x + 4 x\right) + 5 \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x*x + 4*x + 5)/x.
log⁡((0⋅0+0⋅4)+5)0\frac{\log{\left(\left(0 \cdot 0 + 0 \cdot 4\right) + 5 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+4x((xx+4x)+5)−log⁡((xx+4x)+5)x2=0\frac{2 x + 4}{x \left(\left(x x + 4 x\right) + 5\right)} - \frac{\log{\left(\left(x x + 4 x\right) + 5 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5.9844810052582x_{1} = -5.9844810052582
x2=−2x_{2} = -2
Signos de extremos en los puntos:
(-5.984481005258196, -0.472204316212385)

(-2, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5.9844810052582x_{1} = -5.9844810052582
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
[−5.9844810052582,−2]\left[-5.9844810052582, -2\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−5.9844810052582]∪[−2,∞)\left(-\infty, -5.9844810052582\right] \cup \left[-2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2(x+2)2x2+4x+5−1x2+4x+5−2(x+2)x(x2+4x+5)+log⁡(x2+4x+5)x2)x=0\frac{2 \left(- \frac{\frac{2 \left(x + 2\right)^{2}}{x^{2} + 4 x + 5} - 1}{x^{2} + 4 x + 5} - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x \left(x^{2} + 4 x + 5\right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 x + 5 \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=41049.389844989x_{1} = 41049.389844989
x2=−31879.778403393x_{2} = -31879.778403393
x3=−51822.1030267282x_{3} = -51822.1030267282
x4=42171.1585345016x_{4} = 42171.1585345016
x5=−38549.2923693344x_{5} = -38549.2923693344
x6=−45198.2395568314x_{6} = -45198.2395568314
x7=−44091.7951490911x_{7} = -44091.7951490911
x8=−52923.6408643412x_{8} = -52923.6408643412
x9=−48513.3348830286x_{9} = -48513.3348830286
x10=56639.8230178148x_{10} = 56639.8230178148
x11=−50719.8767601791x_{11} = -50719.8767601791
x12=35416.5549663483x_{12} = 35416.5549663483
x13=51097.5281231889x_{13} = 51097.5281231889
x14=30876.5575674602x_{14} = 30876.5575674602
x15=−41876.8112850152x_{15} = -41876.8112850152
x16=55533.342985719x_{16} = 55533.342985719
x17=32014.7667258734x_{17} = 32014.7667258734
x18=−49616.9558072691x_{18} = -49616.9558072691
x19=38801.2661936647x_{19} = 38801.2661936647
x20=−9.40443779524633x_{20} = -9.40443779524633
x21=−59518.8397420553x_{21} = -59518.8397420553
x22=47759.3761400037x_{22} = 47759.3761400037
x23=−39659.111221826x_{23} = -39659.111221826
x24=−57323.0567613243x_{24} = -57323.0567613243
x25=−46303.9783676675x_{25} = -46303.9783676675
x26=−42984.649688552x_{26} = -42984.649688552
x27=−58421.2680521551x_{27} = -58421.2680521551
x28=46644.3129551735x_{28} = 46644.3129551735
x29=−35216.3991055196x_{29} = -35216.3991055196
x30=−47409.0099201089x_{30} = -47409.0099201089
x31=−56224.1969723283x_{31} = -56224.1969723283
x32=33150.7585482203x_{32} = 33150.7585482203
x33=54425.9030531103x_{33} = 54425.9030531103
x34=−30767.2716814254x_{34} = -30767.2716814254
x35=−32992.2356686175x_{35} = -32992.2356686175
x36=−40768.2924628996x_{36} = -40768.2924628996
x37=53317.4744510627x_{37} = 53317.4744510627
x38=57745.3704520158x_{38} = 57745.3704520158
x39=−36327.8856732799x_{39} = -36327.8856732799
x40=−37438.8692062818x_{40} = -37438.8692062818
x41=45528.0071455207x_{41} = 45528.0071455207
x42=52208.0268283471x_{42} = 52208.0268283471
x43=44410.4127636691x_{43} = 44410.4127636691
x44=−54024.497301279x_{44} = -54024.497301279
x45=39926.1141336115x_{45} = 39926.1141336115
x46=−55124.6799704715x_{46} = -55124.6799704715
x47=36546.5661288804x_{47} = 36546.5661288804
x48=37674.7756075362x_{48} = 37674.7756075362
x49=58850.0112297895x_{49} = 58850.0112297895
x50=34284.6519489532x_{50} = 34284.6519489532
x51=43291.4807334054x_{51} = 43291.4807334054
x52=−34104.4837987093x_{52} = -34104.4837987093
x53=49985.9444211484x_{53} = 49985.9444211484
x54=48873.239797229x_{54} = 48873.239797229
x55=−2.64205574402286x_{55} = -2.64205574402286
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(−2(x+2)2x2+4x+5−1x2+4x+5−2(x+2)x(x2+4x+5)+log⁡(x2+4x+5)x2)x)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{2 \left(x + 2\right)^{2}}{x^{2} + 4 x + 5} - 1}{x^{2} + 4 x + 5} - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x \left(x^{2} + 4 x + 5\right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 x + 5 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(−2(x+2)2x2+4x+5−1x2+4x+5−2(x+2)x(x2+4x+5)+log⁡(x2+4x+5)x2)x)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\frac{2 \left(x + 2\right)^{2}}{x^{2} + 4 x + 5} - 1}{x^{2} + 4 x + 5} - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x \left(x^{2} + 4 x + 5\right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 x + 5 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−9.40443779524633,−2.64205574402286]\left[-9.40443779524633, -2.64205574402286\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−9.40443779524633]∪[−2.64205574402286,∞)\left(-\infty, -9.40443779524633\right] \cup \left[-2.64205574402286, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((xx+4x)+5)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x x + 4 x\right) + 5 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡((xx+4x)+5)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x x + 4 x\right) + 5 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x*x + 4*x + 5)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((xx+4x)+5)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x x + 4 x\right) + 5 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((xx+4x)+5)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x x + 4 x\right) + 5 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((xx+4x)+5)x=−log⁡(x2−4x+5)x\frac{\log{\left(\left(x x + 4 x\right) + 5 \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(x^{2} - 4 x + 5 \right)}}{x}
- No
log⁡((xx+4x)+5)x=log⁡(x2−4x+5)x\frac{\log{\left(\left(x x + 4 x\right) + 5 \right)}}{x} = \frac{\log{\left(x^{2} - 4 x + 5 \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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