Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x/(1+x^2) x/(1+x^2)
  • y^2+1 y^2+1
  • x/(x^2-1) x/(x^2-1)
  • 1-x^2 1-x^2
  • Derivada de:
  • (x^2-2)/(x^2+2) (x^2-2)/(x^2+2)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos - dos)/(x^ dos + dos)
  • (x al cuadrado menos 2) dividir por (x al cuadrado más 2)
  • (x en el grado dos menos dos) dividir por (x en el grado dos más dos)
  • (x2-2)/(x2+2)
  • x2-2/x2+2
  • (x²-2)/(x²+2)
  • (x en el grado 2-2)/(x en el grado 2+2)
  • x^2-2/x^2+2
  • (x^2-2) dividir por (x^2+2)

  • Expresiones semejantes

  • (x^2+2)/(x^2+2)
  • (x^2-2)/(x^2-2)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2-2)/(x^2+2)

Gráfico de la función y = (x^2-2)/(x^2+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  - 2
f(x) = ------
        2    
       x  + 2
f(x)=x2−2x2+2f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2} 
f = (x^2 - 2)/(x^2 + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−2x2+2=0\frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Solución numérica
x1=1.4142135623731x_{1} = 1.4142135623731
x2=−1.4142135623731x_{2} = -1.4142135623731
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 2)/(x^2 + 2).
−2+0202+2\frac{-2 + 0^{2}}{0^{2} + 2}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x2−2)(x2+2)2+2xx2+2=0- \frac{2 x \left(x^{2} - 2\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4x2x2+2+(x2−2)(4x2x2+2−1)x2+2+1)x2+2=0\frac{2 \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{\left(x^{2} - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)}{x^{2} + 2} + 1\right)}{x^{2} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x2=63x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−63,63]\left[- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−63]∪[63,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−2x2+2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x2−2x2+2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 2)/(x^2 + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2−2x(x2+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 2}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x2−2x(x2+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2}{x \left(x^{2} + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−2x2+2=x2−2x2+2\frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2} = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2}
- Sí
x2−2x2+2=−x2−2x2+2\frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2} = - \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2}
- No
es decir, función
es
par
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