Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2*e^((-1)/x)
-
x^2*e^(2-x)
-
x+27/x^3
-
(x^2-8)/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- (z^ dos +7z)/((z+ uno)(z- dos))
- (z al cuadrado más 7z) dividir por ((z más 1)(z menos 2))
- (z en el grado dos más 7z) dividir por ((z más uno)(z menos dos))
- (z2+7z)/((z+1)(z-2))
- z2+7z/z+1z-2
- (z²+7z)/((z+1)(z-2))
- (z en el grado 2+7z)/((z+1)(z-2))
- z^2+7z/z+1z-2
- (z^2+7z) dividir por ((z+1)(z-2))
-
Expresiones semejantes
- (z^2+7z)/((z-1)(z-2))
- (z^2+7z)/((z+1)(z+2))
- (z^2-7z)/((z+1)(z-2))
Gráfico de la función y = (z^2+7z)/((z+1)(z-2))
Solución
Ha introducido
[src]
2
z + 7*z
f(z) = ---------------
(z + 1)*(z - 2)
$$f{\left(z \right)} = \frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}$$
f = (z^2 + 7*z)/(((z - 2)*(z + 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 2$$
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:
Solución analítica
$$z_{1} = -7$$
$$z_{2} = 0$$
Solución numérica
$$z_{1} = 0$$
$$z_{2} = -7$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:
Solución analítica
$$z_{1} = -7$$
$$z_{2} = 0$$
Solución numérica
$$z_{1} = 0$$
$$z_{2} = -7$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 z\right) \left(z^{2} + 7 z\right)}{\left(z - 2\right)^{2} \left(z + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} \left(2 z + 7\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 z\right) \left(z^{2} + 7 z\right)}{\left(z - 2\right)^{2} \left(z + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} \left(2 z + 7\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$z_{1} = - \frac{3 \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 2$$
$$\lim_{z \to -1^-}\left(\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$z_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{z \to 2^-}\left(\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{z \to 2^+}\left(\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$z_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{3 \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$z_{1} = - \frac{3 \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 2$$
$$\lim_{z \to -1^-}\left(\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{z \to -1^+}\left(\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$z_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{z \to 2^-}\left(\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{z \to 2^+}\left(\frac{\frac{z \left(z + 7\right) \left(\left(2 z - 1\right) \left(\frac{1}{z + 1} + \frac{1}{z - 2}\right) - 2 + \frac{2 z - 1}{z + 1} + \frac{2 z - 1}{z - 2}\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 z - 1\right) \left(2 z + 7\right)}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$z_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{3 \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 2$$
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (z^2 + 7*z)/(((z + 1)*(z - 2))), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} \left(z^{2} + 7 z\right)}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} \left(z^{2} + 7 z\right)}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} \left(z^{2} + 7 z\right)}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} \left(z^{2} + 7 z\right)}{z}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
$$\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} = \frac{z^{2} - 7 z}{\left(1 - z\right) \left(- z - 2\right)}$$
- No
$$\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} = - \frac{z^{2} - 7 z}{\left(1 - z\right) \left(- z - 2\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} = \frac{z^{2} - 7 z}{\left(1 - z\right) \left(- z - 2\right)}$$
- No
$$\frac{z^{2} + 7 z}{\left(z - 2\right) \left(z + 1\right)} = - \frac{z^{2} - 7 z}{\left(1 - z\right) \left(- z - 2\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar