Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2x)!

Gráfico de la función y = (2x)!

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = (2*x)!
f(x)=(2x)!f{\left(x \right)} = \left(2 x\right)! 
f = factorial(2*x)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2x)!=0\left(2 x\right)! = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en factorial(2*x).
(0⋅2)!\left(0 \cdot 2\right)!
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2Γ(2x+1)polygamma⁡(0,2x+1)=02 \Gamma\left(2 x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.230816072484181x_{1} = 0.230816072484181
Signos de extremos en los puntos:
(0.23081607248418118, 0.885603194410889)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.230816072484181x_{1} = 0.230816072484181
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0.230816072484181,∞)\left[0.230816072484181, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.230816072484181]\left(-\infty, 0.230816072484181\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(polygamma⁡2(0,2x+1)+polygamma⁡(1,2x+1))Γ(2x+1)=04 \left(\operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,2 x + 1 \right)} + \operatorname{polygamma}{\left(1,2 x + 1 \right)}\right) \Gamma\left(2 x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−25.6555506687219x_{1} = -25.6555506687219

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x)!=(−∞)!\lim_{x \to -\infty} \left(2 x\right)! = \left(-\infty\right)!
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=(−∞)!y = \left(-\infty\right)!
lim⁡x→∞(2x)!=∞\lim_{x \to \infty} \left(2 x\right)! = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función factorial(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2x)!x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x\right)!}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((2x)!x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x\right)!}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2x)!=(−2x)!\left(2 x\right)! = \left(- 2 x\right)!
- No
(2x)!=−(−2x)!\left(2 x\right)! = - \left(- 2 x\right)!
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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