Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
- ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
- (1/((x-1)*(x-3)))*(4-2*x)/((x-1)*(x-3))
-
Expresiones idénticas
- (uno /((x- uno)*(x- tres)))*(cuatro - dos *x)/((x- uno)*(x- tres))
- (1 dividir por ((x menos 1) multiplicar por (x menos 3))) multiplicar por (4 menos 2 multiplicar por x) dividir por ((x menos 1) multiplicar por (x menos 3))
- (uno dividir por ((x menos uno) multiplicar por (x menos tres))) multiplicar por (cuatro menos dos multiplicar por x) dividir por ((x menos uno) multiplicar por (x menos tres))
- (1/((x-1)(x-3)))(4-2x)/((x-1)(x-3))
- 1/x-1x-34-2x/x-1x-3
- (1 dividir por ((x-1)*(x-3)))*(4-2*x) dividir por ((x-1)*(x-3))
-
Expresiones semejantes
- (1/((x+1)*(x-3)))*(4-2*x)/((x-1)*(x-3))
- (1/((x-1)*(x-3)))*(4+2*x)/((x-1)*(x-3))
- (1/((x-1)*(x+3)))*(4-2*x)/((x-1)*(x-3))
- (1/((x-1)*(x-3)))*(4-2*x)/((x+1)*(x-3))
- (1/((x-1)*(x-3)))*(4-2*x)/((x-1)*(x+3))
Gráfico de la función y = (1/((x-1)*(x-3)))*(4-2*x)/((x-1)*(x-3))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 - 2*x \
|---------------|
\(x - 1)*(x - 3)/
f(x) = -----------------
(x - 1)*(x - 3)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}$$
f = ((4 - 2*x)/(((x - 3)*(x - 1))))/(((x - 3)*(x - 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -30441.7087818787$$
$$x_{2} = -25355.1956280906$$
$$x_{3} = 24642.6697943983$$
$$x_{4} = -13484.0629303382$$
$$x_{5} = 19555.622232257$$
$$x_{6} = -14332.2574401388$$
$$x_{7} = 30576.9607286225$$
$$x_{8} = -21116.1081408212$$
$$x_{9} = 15315.6947073257$$
$$x_{10} = -35527.96782414$$
$$x_{11} = 32272.4007511367$$
$$x_{12} = 38206.2790179564$$
$$x_{13} = -23659.6064602865$$
$$x_{14} = 13619.3916429577$$
$$x_{15} = 37358.5947362375$$
$$x_{16} = -12635.7892988554$$
$$x_{17} = -38071.0338727658$$
$$x_{18} = 18707.7058128052$$
$$x_{19} = -37223.3490351873$$
$$x_{20} = -40614.0682023929$$
$$x_{21} = -36375.6604419003$$
$$x_{22} = -39766.3932412975$$
$$x_{23} = -22811.7906651013$$
$$x_{24} = -32137.1507408333$$
$$x_{25} = 39901.6373793217$$
$$x_{26} = 23794.8707458989$$
$$x_{27} = 41596.9835238138$$
$$x_{28} = -16028.4592776001$$
$$x_{29} = -32984.8627220526$$
$$x_{30} = 26338.230277608$$
$$x_{31} = 22947.0573071609$$
$$x_{32} = -19420.3428903681$$
$$x_{33} = 27185.9940576599$$
$$x_{34} = 14467.575228032$$
$$x_{35} = -38918.7151999899$$
$$x_{36} = 29729.2308152591$$
$$x_{37} = 25490.4558880833$$
$$x_{38} = 31424.6838625292$$
$$x_{39} = 35663.2147583842$$
$$x_{40} = -41461.7402721613$$
$$x_{41} = 11922.7774961659$$
$$x_{42} = -11787.4194932989$$
$$x_{43} = 28881.4935255786$$
$$x_{44} = -26202.9717446159$$
$$x_{45} = 40749.3118833833$$
$$x_{46} = -34680.2708868702$$
$$x_{47} = 17011.7796699387$$
$$x_{48} = -29593.9777734643$$
$$x_{49} = -43157.0764190717$$
$$x_{50} = 33967.8176625065$$
$$x_{51} = -17724.4711883433$$
$$x_{52} = -42309.4096243535$$
$$x_{53} = -33832.5693054934$$
$$x_{54} = 2$$
$$x_{55} = -27898.492652453$$
$$x_{56} = -21963.9585469319$$
$$x_{57} = 39053.9598251782$$
$$x_{58} = 22099.2278225587$$
$$x_{59} = 33120.1118739225$$
$$x_{60} = -24507.4076256731$$
$$x_{61} = -28746.239290691$$
$$x_{62} = 16163.7601634659$$
$$x_{63} = 20403.5127178497$$
$$x_{64} = 17859.7597678008$$
$$x_{65} = 21251.3803723555$$
$$x_{66} = -18572.4221668727$$
$$x_{67} = -15180.3860741083$$
$$x_{68} = 36510.9067380414$$
$$x_{69} = -31289.43292325$$
$$x_{70} = 34815.5185064768$$
$$x_{71} = -27050.737092296$$
$$x_{72} = 12771.1311938499$$
$$x_{73} = -16876.4853984547$$
$$x_{74} = 28033.748190538$$
$$x_{75} = -20268.2371532321$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -30441.7087818787$$
$$x_{2} = -25355.1956280906$$
$$x_{3} = 24642.6697943983$$
$$x_{4} = -13484.0629303382$$
$$x_{5} = 19555.622232257$$
$$x_{6} = -14332.2574401388$$
$$x_{7} = 30576.9607286225$$
$$x_{8} = -21116.1081408212$$
$$x_{9} = 15315.6947073257$$
$$x_{10} = -35527.96782414$$
$$x_{11} = 32272.4007511367$$
$$x_{12} = 38206.2790179564$$
$$x_{13} = -23659.6064602865$$
$$x_{14} = 13619.3916429577$$
$$x_{15} = 37358.5947362375$$
$$x_{16} = -12635.7892988554$$
$$x_{17} = -38071.0338727658$$
$$x_{18} = 18707.7058128052$$
$$x_{19} = -37223.3490351873$$
$$x_{20} = -40614.0682023929$$
$$x_{21} = -36375.6604419003$$
$$x_{22} = -39766.3932412975$$
$$x_{23} = -22811.7906651013$$
$$x_{24} = -32137.1507408333$$
$$x_{25} = 39901.6373793217$$
$$x_{26} = 23794.8707458989$$
$$x_{27} = 41596.9835238138$$
$$x_{28} = -16028.4592776001$$
$$x_{29} = -32984.8627220526$$
$$x_{30} = 26338.230277608$$
$$x_{31} = 22947.0573071609$$
$$x_{32} = -19420.3428903681$$
$$x_{33} = 27185.9940576599$$
$$x_{34} = 14467.575228032$$
$$x_{35} = -38918.7151999899$$
$$x_{36} = 29729.2308152591$$
$$x_{37} = 25490.4558880833$$
$$x_{38} = 31424.6838625292$$
$$x_{39} = 35663.2147583842$$
$$x_{40} = -41461.7402721613$$
$$x_{41} = 11922.7774961659$$
$$x_{42} = -11787.4194932989$$
$$x_{43} = 28881.4935255786$$
$$x_{44} = -26202.9717446159$$
$$x_{45} = 40749.3118833833$$
$$x_{46} = -34680.2708868702$$
$$x_{47} = 17011.7796699387$$
$$x_{48} = -29593.9777734643$$
$$x_{49} = -43157.0764190717$$
$$x_{50} = 33967.8176625065$$
$$x_{51} = -17724.4711883433$$
$$x_{52} = -42309.4096243535$$
$$x_{53} = -33832.5693054934$$
$$x_{54} = 2$$
$$x_{55} = -27898.492652453$$
$$x_{56} = -21963.9585469319$$
$$x_{57} = 39053.9598251782$$
$$x_{58} = 22099.2278225587$$
$$x_{59} = 33120.1118739225$$
$$x_{60} = -24507.4076256731$$
$$x_{61} = -28746.239290691$$
$$x_{62} = 16163.7601634659$$
$$x_{63} = 20403.5127178497$$
$$x_{64} = 17859.7597678008$$
$$x_{65} = 21251.3803723555$$
$$x_{66} = -18572.4221668727$$
$$x_{67} = -15180.3860741083$$
$$x_{68} = 36510.9067380414$$
$$x_{69} = -31289.43292325$$
$$x_{70} = 34815.5185064768$$
$$x_{71} = -27050.737092296$$
$$x_{72} = 12771.1311938499$$
$$x_{73} = -16876.4853984547$$
$$x_{74} = 28033.748190538$$
$$x_{75} = -20268.2371532321$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(\frac{\left(4 - 2 x\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(\frac{\left(4 - 2 x\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((4 - 2*x)/(((x - 1)*(x - 3))))/(((x - 1)*(x - 3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(4 - 2 x\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(4 - 2 x\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(4 - 2 x\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(4 - 2 x\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = \frac{2 x + 4}{\left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{2 x + 4}{\left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = \frac{2 x + 4}{\left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{2 x + 4}{\left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar