Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (1/((x-1)*(x-3)))*(4-2*x)/((x-1)*(x-3))

Gráfico de la función y = (1/((x-1)*(x-3)))*(4-2*x)/((x-1)*(x-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /    4 - 2*x    \
       |---------------|
       \(x - 1)*(x - 3)/
f(x) = -----------------
        (x - 1)*(x - 3)
f(x)=1(x−3)(x−1)(4−2x)(x−3)(x−1)f{\left(x \right)} = \frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} 
f = ((4 - 2*x)/(((x - 3)*(x - 1))))/(((x - 3)*(x - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1(x−3)(x−1)(4−2x)(x−3)(x−1)=0\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
Solución numérica
x1=−30441.7087818787x_{1} = -30441.7087818787
x2=−25355.1956280906x_{2} = -25355.1956280906
x3=24642.6697943983x_{3} = 24642.6697943983
x4=−13484.0629303382x_{4} = -13484.0629303382
x5=19555.622232257x_{5} = 19555.622232257
x6=−14332.2574401388x_{6} = -14332.2574401388
x7=30576.9607286225x_{7} = 30576.9607286225
x8=−21116.1081408212x_{8} = -21116.1081408212
x9=15315.6947073257x_{9} = 15315.6947073257
x10=−35527.96782414x_{10} = -35527.96782414
x11=32272.4007511367x_{11} = 32272.4007511367
x12=38206.2790179564x_{12} = 38206.2790179564
x13=−23659.6064602865x_{13} = -23659.6064602865
x14=13619.3916429577x_{14} = 13619.3916429577
x15=37358.5947362375x_{15} = 37358.5947362375
x16=−12635.7892988554x_{16} = -12635.7892988554
x17=−38071.0338727658x_{17} = -38071.0338727658
x18=18707.7058128052x_{18} = 18707.7058128052
x19=−37223.3490351873x_{19} = -37223.3490351873
x20=−40614.0682023929x_{20} = -40614.0682023929
x21=−36375.6604419003x_{21} = -36375.6604419003
x22=−39766.3932412975x_{22} = -39766.3932412975
x23=−22811.7906651013x_{23} = -22811.7906651013
x24=−32137.1507408333x_{24} = -32137.1507408333
x25=39901.6373793217x_{25} = 39901.6373793217
x26=23794.8707458989x_{26} = 23794.8707458989
x27=41596.9835238138x_{27} = 41596.9835238138
x28=−16028.4592776001x_{28} = -16028.4592776001
x29=−32984.8627220526x_{29} = -32984.8627220526
x30=26338.230277608x_{30} = 26338.230277608
x31=22947.0573071609x_{31} = 22947.0573071609
x32=−19420.3428903681x_{32} = -19420.3428903681
x33=27185.9940576599x_{33} = 27185.9940576599
x34=14467.575228032x_{34} = 14467.575228032
x35=−38918.7151999899x_{35} = -38918.7151999899
x36=29729.2308152591x_{36} = 29729.2308152591
x37=25490.4558880833x_{37} = 25490.4558880833
x38=31424.6838625292x_{38} = 31424.6838625292
x39=35663.2147583842x_{39} = 35663.2147583842
x40=−41461.7402721613x_{40} = -41461.7402721613
x41=11922.7774961659x_{41} = 11922.7774961659
x42=−11787.4194932989x_{42} = -11787.4194932989
x43=28881.4935255786x_{43} = 28881.4935255786
x44=−26202.9717446159x_{44} = -26202.9717446159
x45=40749.3118833833x_{45} = 40749.3118833833
x46=−34680.2708868702x_{46} = -34680.2708868702
x47=17011.7796699387x_{47} = 17011.7796699387
x48=−29593.9777734643x_{48} = -29593.9777734643
x49=−43157.0764190717x_{49} = -43157.0764190717
x50=33967.8176625065x_{50} = 33967.8176625065
x51=−17724.4711883433x_{51} = -17724.4711883433
x52=−42309.4096243535x_{52} = -42309.4096243535
x53=−33832.5693054934x_{53} = -33832.5693054934
x54=2x_{54} = 2
x55=−27898.492652453x_{55} = -27898.492652453
x56=−21963.9585469319x_{56} = -21963.9585469319
x57=39053.9598251782x_{57} = 39053.9598251782
x58=22099.2278225587x_{58} = 22099.2278225587
x59=33120.1118739225x_{59} = 33120.1118739225
x60=−24507.4076256731x_{60} = -24507.4076256731
x61=−28746.239290691x_{61} = -28746.239290691
x62=16163.7601634659x_{62} = 16163.7601634659
x63=20403.5127178497x_{63} = 20403.5127178497
x64=17859.7597678008x_{64} = 17859.7597678008
x65=21251.3803723555x_{65} = 21251.3803723555
x66=−18572.4221668727x_{66} = -18572.4221668727
x67=−15180.3860741083x_{67} = -15180.3860741083
x68=36510.9067380414x_{68} = 36510.9067380414
x69=−31289.43292325x_{69} = -31289.43292325
x70=34815.5185064768x_{70} = 34815.5185064768
x71=−27050.737092296x_{71} = -27050.737092296
x72=12771.1311938499x_{72} = 12771.1311938499
x73=−16876.4853984547x_{73} = -16876.4853984547
x74=28033.748190538x_{74} = 28033.748190538
x75=−20268.2371532321x_{75} = -20268.2371532321
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((4 - 2*x)/(((x - 1)*(x - 3))))/(((x - 1)*(x - 3))).
1(−3)(−1)(4−0)(−3)(−1)\frac{\frac{1}{\left(-3\right) \left(-1\right)} \left(4 - 0\right)}{\left(-3\right) \left(-1\right)}
Resultado:
f(0)=49f{\left(0 \right)} = \frac{4}{9}
Punto:
(0, 4/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1(x−3)(x−1)(4−2x)2(x−3)2(x−1)2+1(x−3)(x−1)((4−2x)2(x−3)2(x−1)2−2(x−3)(x−1))=0\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(\frac{\left(4 - 2 x\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(x−2)(−2(x−2)(1x−1+1x−3)−2(x−2)x−1+6−4(x−2)2(x−3)(x−1)−2(x−2)x−3)(x−3)3(x−1)3=0\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3

lim⁡x→1−(4(x−2)(−2(x−2)(1x−1+1x−3)−2(x−2)x−1+6−4(x−2)2(x−3)(x−1)−2(x−2)x−3)(x−3)3(x−1)3)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(4(x−2)(−2(x−2)(1x−1+1x−3)−2(x−2)x−1+6−4(x−2)2(x−3)(x−1)−2(x−2)x−3)(x−3)3(x−1)3)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→3−(4(x−2)(−2(x−2)(1x−1+1x−3)−2(x−2)x−1+6−4(x−2)2(x−3)(x−1)−2(x−2)x−3)(x−3)3(x−1)3)=−∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→3+(4(x−2)(−2(x−2)(1x−1+1x−3)−2(x−2)x−1+6−4(x−2)2(x−3)(x−1)−2(x−2)x−3)(x−3)3(x−1)3)=−∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4 \left(x - 2\right) \left(- 2 \left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 6 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} - \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3} \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Convexa en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−3)(x−1)(4−2x)(x−3)(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(1(x−3)(x−1)(4−2x)(x−3)(x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((4 - 2*x)/(((x - 1)*(x - 3))))/(((x - 1)*(x - 3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−3)2(x−1)2(4−2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(4 - 2 x\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x−3)2(x−1)2(4−2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(4 - 2 x\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1(x−3)(x−1)(4−2x)(x−3)(x−1)=2x+4(−x−3)2(−x−1)2\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = \frac{2 x + 4}{\left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}}
- No
1(x−3)(x−1)(4−2x)(x−3)(x−1)=−2x+4(−x−3)2(−x−1)2\frac{\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{2 x + 4}{\left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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