Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^3-3x^2+5
-
y=4x^2-x^3-1
-
1+2*x^2-x^4
-
x/x^2-5
-
Expresiones idénticas
- ((x- dos)^ tres)/(x²-4x- doce)
- ((x menos 2) al cubo ) dividir por (x² menos 4x menos 12)
- ((x menos dos) en el grado tres) dividir por (x² menos 4x menos doce)
- ((x-2)3)/(x²-4x-12)
- x-23/x²-4x-12
- ((x-2)³)/(x²-4x-12)
- ((x-2) en el grado 3)/(x²-4x-12)
- x-2^3/x²-4x-12
- ((x-2)^3) dividir por (x²-4x-12)
-
Expresiones semejantes
- ((x-2)^3)/(x²+4x-12)
- ((x-2)^3)/(x²-4x+12)
- ((x+2)^3)/(x²-4x-12)
Gráfico de la función y = ((x-2)^3)/(x²-4x-12)
Solución
Ha introducido
[src]
3
(x - 2)
f(x) = -------------
2
x - 4*x - 12
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12}$$
f = (x - 2)^3/(x^2 - 4*x - 12)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 6$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.99986878460814$$
$$x_{2} = 1.999880277542$$
$$x_{3} = 2.00012274314122$$
$$x_{4} = 1.9998013884673$$
$$x_{5} = 2.00012851366078$$
$$x_{6} = 1.99983739502015$$
$$x_{7} = 1.99984213529371$$
$$x_{8} = 2.00011500947755$$
$$x_{9} = 2.00014969809512$$
$$x_{10} = 1.99976646339513$$
$$x_{11} = 2.00007573773932$$
$$x_{12} = 1.99977634750193$$
$$x_{13} = 1.99985081576848$$
$$x_{14} = 1.99974365230708$$
$$x_{15} = 2.00018570569409$$
$$x_{16} = 1.99973037845826$$
$$x_{17} = 2.00011264634421$$
$$x_{18} = 2.00012005062329$$
$$x_{19} = 1.99979371369214$$
$$x_{20} = 1.99988529139226$$
$$x_{21} = 2.00013486364058$$
$$x_{22} = 1.99982698000049$$
$$x_{23} = 1.99986555188334$$
$$x_{24} = 2.00011747526075$$
$$x_{25} = 2.00016829945642$$
$$x_{26} = 2.00013161081164$$
$$x_{27} = 2.00020728921393$$
$$x_{28} = 2.0002156931931$$
$$x_{29} = 2.00012556111526$$
$$x_{30} = 1.99986215283012$$
$$x_{31} = 1.99987760010678$$
$$x_{32} = 1.99988283880678$$
$$x_{33} = 1.99987186310035$$
$$x_{34} = 1.99981509343813$$
$$x_{35} = 1.99983235340614$$
$$x_{36} = 2.00016321811584$$
$$x_{37} = 2.00015844170843$$
$$x_{38} = 2.00011037950953$$
$$x_{39} = 1.9997853959353$$
$$x_{40} = 2.00014568561704$$
$$x_{41} = 1.99985480056346$$
$$x_{42} = 2.00013414831342$$
$$x_{43} = 2.00024581420448$$
$$x_{44} = 2.00019953836049$$
$$x_{45} = 2.00027138420757$$
$$x_{46} = 1.99982124000238$$
$$x_{47} = 2.00019236518677$$
$$x_{48} = 1.99980849413988$$
$$x_{49} = 2.00025793092165$$
$$x_{50} = 2.00017371668565$$
$$x_{51} = 1.99985857403195$$
$$x_{52} = 1.99987479829562$$
$$x_{53} = 2$$
$$x_{54} = 2.00015394303575$$
$$x_{55} = 1.99984660099731$$
$$x_{56} = 2.00022483994528$$
$$x_{57} = 2.00014188668176$$
$$x_{58} = 2.00023483692781$$
$$x_{59} = 1.99975561669104$$
$$x_{60} = 2.00013828439923$$
$$x_{61} = 2.00017950520237$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.99986878460814$$
$$x_{2} = 1.999880277542$$
$$x_{3} = 2.00012274314122$$
$$x_{4} = 1.9998013884673$$
$$x_{5} = 2.00012851366078$$
$$x_{6} = 1.99983739502015$$
$$x_{7} = 1.99984213529371$$
$$x_{8} = 2.00011500947755$$
$$x_{9} = 2.00014969809512$$
$$x_{10} = 1.99976646339513$$
$$x_{11} = 2.00007573773932$$
$$x_{12} = 1.99977634750193$$
$$x_{13} = 1.99985081576848$$
$$x_{14} = 1.99974365230708$$
$$x_{15} = 2.00018570569409$$
$$x_{16} = 1.99973037845826$$
$$x_{17} = 2.00011264634421$$
$$x_{18} = 2.00012005062329$$
$$x_{19} = 1.99979371369214$$
$$x_{20} = 1.99988529139226$$
$$x_{21} = 2.00013486364058$$
$$x_{22} = 1.99982698000049$$
$$x_{23} = 1.99986555188334$$
$$x_{24} = 2.00011747526075$$
$$x_{25} = 2.00016829945642$$
$$x_{26} = 2.00013161081164$$
$$x_{27} = 2.00020728921393$$
$$x_{28} = 2.0002156931931$$
$$x_{29} = 2.00012556111526$$
$$x_{30} = 1.99986215283012$$
$$x_{31} = 1.99987760010678$$
$$x_{32} = 1.99988283880678$$
$$x_{33} = 1.99987186310035$$
$$x_{34} = 1.99981509343813$$
$$x_{35} = 1.99983235340614$$
$$x_{36} = 2.00016321811584$$
$$x_{37} = 2.00015844170843$$
$$x_{38} = 2.00011037950953$$
$$x_{39} = 1.9997853959353$$
$$x_{40} = 2.00014568561704$$
$$x_{41} = 1.99985480056346$$
$$x_{42} = 2.00013414831342$$
$$x_{43} = 2.00024581420448$$
$$x_{44} = 2.00019953836049$$
$$x_{45} = 2.00027138420757$$
$$x_{46} = 1.99982124000238$$
$$x_{47} = 2.00019236518677$$
$$x_{48} = 1.99980849413988$$
$$x_{49} = 2.00025793092165$$
$$x_{50} = 2.00017371668565$$
$$x_{51} = 1.99985857403195$$
$$x_{52} = 1.99987479829562$$
$$x_{53} = 2$$
$$x_{54} = 2.00015394303575$$
$$x_{55} = 1.99984660099731$$
$$x_{56} = 2.00022483994528$$
$$x_{57} = 2.00014188668176$$
$$x_{58} = 2.00023483692781$$
$$x_{59} = 1.99975561669104$$
$$x_{60} = 2.00013828439923$$
$$x_{61} = 2.00017950520237$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x - 2\right)^{3}}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 12\right)^{2}} + \frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2 - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 2 + 4 \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 + 4 \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 - 4 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[2 + 4 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 - 4 \sqrt{3}, 2 + 4 \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x - 2\right)^{3}}{\left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 12\right)^{2}} + \frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2 - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 2 + 4 \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, 0)
___
___ -192*\/ 3
(2 - 4*\/ 3, -------------------------------)
2
/ ___\ ___
-20 + \2 - 4*\/ 3 / + 16*\/ 3 ___
___ 192*\/ 3
(2 + 4*\/ 3, -------------------------------)
2
/ ___\ ___
-20 + \2 + 4*\/ 3 / - 16*\/ 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 + 4 \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 - 4 \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[2 + 4 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 - 4 \sqrt{3}, 2 + 4 \sqrt{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 6$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 6^-}\left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 6^+}\left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 6$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 6$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 6^-}\left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 6^+}\left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 1\right)}{- x^{2} + 4 x + 12} + \frac{6 \left(x - 2\right)^{2}}{- x^{2} + 4 x + 12} + 3\right)}{- x^{2} + 4 x + 12}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 6$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 6$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 2)^3/(x^2 - 4*x - 12), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 12\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 12\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 12\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 12\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12} = \frac{\left(- x - 2\right)^{3}}{x^{2} + 4 x - 12}$$
- No
$$\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12} = - \frac{\left(- x - 2\right)^{3}}{x^{2} + 4 x - 12}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12} = \frac{\left(- x - 2\right)^{3}}{x^{2} + 4 x - 12}$$
- No
$$\frac{\left(x - 2\right)^{3}}{\left(x^{2} - 4 x\right) - 12} = - \frac{\left(- x - 2\right)^{3}}{x^{2} + 4 x - 12}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar