Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
3/(x^2+1)
-
(1/3)^x
-
x/(x^3+2)
-
y=2x-3
- Integral de d{x}:
- (x^3+x)/(x-1)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres +x)/(x- uno)
- (x al cubo más x) dividir por (x menos 1)
- (x en el grado tres más x) dividir por (x menos uno)
- (x3+x)/(x-1)
- x3+x/x-1
- (x³+x)/(x-1)
- (x en el grado 3+x)/(x-1)
- x^3+x/x-1
- (x^3+x) dividir por (x-1)
-
Expresiones semejantes
- (x^3-x)/(x-1)
- (x^3+x)/(x+1)
Gráfico de la función y = (x^3+x)/(x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x + x
f(x) = ------
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + x}{x - 1}$$
f = (x^3 + x)/(x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + x}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + x}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2} + 1}{x - 1} - \frac{x^{3} + x}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2} + 1}{x - 1} - \frac{x^{3} + x}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}$$
Signos de extremos en los puntos:
3
___________ / ___________ \
/ ___ | / ___ |
1 / 3 \/ 2 |1 / 3 \/ 2 1 | 1
- + 3 / - + ----- + |- + 3 / - + ----- + ------------------| + ------------------
2 \/ 8 4 |2 \/ 8 4 ___________| ___________
| / ___ | / ___
___________ | / 3 \/ 2 | / 3 \/ 2
/ ___ | 4*3 / - + ----- | 4*3 / - + -----
1 / 3 \/ 2 1 \ \/ 8 4 / \/ 8 4
(- + 3 / - + ----- + ------------------, ----------------------------------------------------------------------------------------)
2 \/ 8 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
/ 3 \/ 2 1 / 3 \/ 2 1
4*3 / - + ----- - - + 3 / - + ----- + ------------------
\/ 8 4 2 \/ 8 4 ___________
/ ___
/ 3 \/ 2
4*3 / - + -----
\/ 8 4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{4 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}} + \frac{1}{2} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{8}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x + \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x^{2} + 1}{x - 1}\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x^{2} + 1}{x - 1}\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x^{2} + 1}{x - 1}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x + \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x^{2} + 1}{x - 1}\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x^{2} + 1}{x - 1}\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(3 x + \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 x^{2} + 1}{x - 1}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + x)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x \left(x - 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + x}{x \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + x}{x - 1} = \frac{- x^{3} - x}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{x^{3} + x}{x - 1} = - \frac{- x^{3} - x}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + x}{x - 1} = \frac{- x^{3} - x}{- x - 1}$$
- No
$$\frac{x^{3} + x}{x - 1} = - \frac{- x^{3} - x}{- x - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar