Sr Examen

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cbrt((x+2)^2)-cbrt((x-2)^2)
Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x+2)^2)-cbrt((x-2)^2)

Gráfico de la función y = cbrt((x+2)^2)-cbrt((x-2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________      __________
       3 /        2    3 /        2 
f(x) = \/  (x + 2)   - \/  (x - 2)
f(x)=−(x−2)23+(x+2)23f{\left(x \right)} = - \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}} 
f = -((x - 2)^2)^(1/3) + ((x + 2)^2)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−(x−2)23+(x+2)23=0- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 2)^2)^(1/3) - ((x - 2)^2)^(1/3).
−(−2)23+223- \sqrt[3]{\left(-2\right)^{2}} + \sqrt[3]{2^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(2x3−43)∣x−2∣23(x−2)2+(2x3+43)∣x+2∣23(x+2)2=0- \frac{\left(\frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{4}{3}\right) \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2sign⁡(x+2)(x+2)∣x+2∣3−3∣x+2∣23(x+2)2−2sign⁡(x−2)(x−2)∣x−2∣3+3∣x−2∣23(x−2)2)9=0\frac{2 \left(\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x + 2 \right)}}{\left(x + 2\right) \sqrt[3]{\left|{x + 2}\right|}} - \frac{3 \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} + \frac{3 \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=181238.376102839x_{1} = 181238.376102839
x2=166753.882480468x_{2} = 166753.882480468
x3=−173435.693933223x_{3} = -173435.693933223
x4=163132.645928572x_{4} = 163132.645928572
x5=148647.147940908x_{5} = 148647.147940908
x6=−137221.709590085x_{6} = -137221.709590085
x7=−158950.807893006x_{7} = -158950.807893006
x8=−162572.10407653x_{8} = -162572.10407653
x9=152268.613075659x_{9} = 152268.613075659
x10=170375.070888914x_{10} = 170375.070888914
x11=155890.014978788x_{11} = 155890.014978788
x12=145025.614839507x_{12} = 145025.614839507
x13=−144465.025544631x_{13} = -144465.025544631
x14=−148086.569538971x_{14} = -148086.569538971
x15=0x_{15} = 0
x16=177617.315050385x_{16} = 177617.315050385
x17=−169814.543912932x_{17} = -169814.543912932
x18=−140843.407514724x_{18} = -140843.407514724
x19=−177056.801165864x_{19} = -177056.801165864
x20=−151708.044797612x_{20} = -151708.044797612
x21=−155329.456126316x_{21} = -155329.456126316
x22=141404.008551508x_{22} = 141404.008551508
x23=137782.323308325x_{23} = 137782.323308325
x24=159511.357955438x_{24} = 159511.357955438
x25=−166193.348309035x_{25} = -166193.348309035
x26=173996.214158893x_{26} = 173996.214158893
x27=−180677.868182719x_{27} = -180677.868182719

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[163132.645928572,∞)\left[163132.645928572, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−177056.801165864]\left(-\infty, -177056.801165864\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−(x−2)23+(x+2)23)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−(x−2)23+(x+2)23)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)^2)^(1/3) - ((x - 2)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−(x−2)23+(x+2)23x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−(x−2)23+(x+2)23x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−(x−2)23+(x+2)23=∣x−2∣23−∣x+2∣23- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}} = \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}} - \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
−(x−2)23+(x+2)23=−∣x−2∣23+∣x+2∣23- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x + 2\right)^{2}} = - \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}} + \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cbrt((x+2)^2)-cbrt((x-2)^2)
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