Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x+1)(x-2)^2)

Gráfico de la función y = cbrt((x+1)(x-2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________________
       3 /                2 
f(x) = \/  (x + 1)*(x - 2)
f(x)=(x−2)2(x+1)3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)} 
f = ((x - 2)^2*(x + 1))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−2)2(x+1)3=0\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 1)*(x - 2)^2)^(1/3).
(−2)23\sqrt[3]{\left(-2\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=223f{\left(0 \right)} = 2^{\frac{2}{3}}
Punto:
(0, 2^(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x+13∣x−2∣23((x−2)23+(x+1)(2x−4)3)(x−2)2(x+1)=0\frac{\sqrt[3]{x + 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{3} + \frac{\left(x + 1\right) \left(2 x - 4\right)}{3}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
     2/3 
(0, 2   )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(2x+13sign⁡(x−2)∣x−2∣3+∣x−2∣23(x+1)23)3(x+1)−x∣x−2∣23(x+1)53−2x∣x−2∣23(x−2)(x+1)23+2(x−1)∣x−2∣23(x−2)(x+1)23x−2=0\frac{\frac{x \left(\frac{2 \sqrt[3]{x + 1} \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} + \frac{\left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{3 \left(x + 1\right)} - \frac{x \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 1\right)^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 x \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \left(x - 1\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=38908.6572171032x_{1} = 38908.6572171032
x2=31278.794844928x_{2} = 31278.794844928
x3=32126.590844832x_{3} = 32126.590844832
x4=34669.9224085187x_{4} = 34669.9224085187
x5=35517.6830361504x_{5} = 35517.6830361504
x6=39756.3858712507x_{6} = 39756.3858712507
x7=40604.1093170438x_{7} = 40604.1093170438
x8=24495.9469965296x_{8} = 24495.9469965296
x9=19407.8824739493x_{9} = 19407.8824739493
x10=21952.0567069657x_{10} = 21952.0567069657
x11=12620.7132350093x_{11} = 12620.7132350093
x12=30430.9881242897x_{12} = 30430.9881242897
x13=41451.8278748386x_{13} = 41451.8278748386
x14=17711.547798019x_{14} = 17711.547798019
x15=18559.7410042927x_{15} = 18559.7410042927
x16=29583.1697579489x_{16} = 29583.1697579489
x17=28735.338711369x_{17} = 28735.338711369
x18=32974.3769535344x_{18} = 32974.3769535344
x19=38060.923005624x_{19} = 38060.923005624
x20=22800.0469712859x_{20} = 22800.0469712859
x21=25343.8621663034x_{21} = 25343.8621663034
x22=33822.1539171318x_{22} = 33822.1539171318
x23=16014.9730853899x_{23} = 16014.9730853899
x24=20255.9787384894x_{24} = 20255.9787384894
x25=11771.7992157937x_{25} = 11771.7992157937
x26=16863.2950013002x_{26} = 16863.2950013002
x27=27887.4938237251x_{27} = 27887.4938237251
x28=23648.0094347252x_{28} = 23648.0094347252
x29=21104.0352741896x_{29} = 21104.0352741896
x30=15166.5703748165x_{30} = 15166.5703748165
x31=42299.5418392453x_{31} = 42299.5418392453
x32=13469.4610446043x_{32} = 13469.4610446043
x33=27039.6337880237x_{33} = 27039.6337880237
x34=37213.1828559446x_{34} = 37213.1828559446
x35=36365.4363515771x_{35} = 36365.4363515771
x36=26191.7571273466x_{36} = 26191.7571273466
x37=14318.0724065027x_{37} = 14318.0724065027

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[36365.4363515771,∞)\left[36365.4363515771, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,18559.7410042927]\left(-\infty, 18559.7410042927\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−2)2(x+1)3=∞−13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞(x−2)2(x+1)3=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 1)*(x - 2)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+13∣x−2∣23x)=−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−13xy = - \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞(x+13∣x−2∣23x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−2)2(x+1)3=1−x3∣x+2∣23\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)} = \sqrt[3]{1 - x} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
(x−2)2(x+1)3=−1−x3∣x+2∣23\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)} = - \sqrt[3]{1 - x} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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