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Trazado el gráfico de la función/ (2x-6)/(x-3)-((x^2-6x+3)/(x-3)^2)

Gráfico de la función y = (2x-6)/(x-3)-((x^2-6x+3)/(x-3)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  2          
       2*x - 6   x  - 6*x + 3
f(x) = ------- - ------------
        x - 3             2  
                   (x - 3)
f(x)=−(x2−6x)+3(x−3)2+2x−6x−3f{\left(x \right)} = - \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 3}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x - 3} 
f = -(x^2 - 6*x + 3)/(x - 3)^2 + (2*x - 6)/(x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−(x2−6x)+3(x−3)2+2x−6x−3=0- \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 3}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x - 6)/(x - 3) - (x^2 - 6*x + 3)/(x - 3)^2.
−(02−0)+3(−3)2+−6+0⋅2−3- \frac{\left(0^{2} - 0\right) + 3}{\left(-3\right)^{2}} + \frac{-6 + 0 \cdot 2}{-3}
Resultado:
f(0)=53f{\left(0 \right)} = \frac{5}{3}
Punto:
(0, 5/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6−2x(x−3)2+(6−2x)((−x2+6x)−3)(x−3)4+2x−3−2x−6(x−3)2=0\frac{6 - 2 x}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{\left(6 - 2 x\right) \left(\left(- x^{2} + 6 x\right) - 3\right)}{\left(x - 3\right)^{4}} + \frac{2}{x - 3} - \frac{2 x - 6}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(1−x2−6x+3(x−3)2)(x−3)2=0\frac{6 \left(1 - \frac{x^{2} - 6 x + 3}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−(x2−6x)+3(x−3)2+2x−6x−3)=1\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 3}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x - 3}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(−(x2−6x)+3(x−3)2+2x−6x−3)=1\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 3}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x - 3}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x - 6)/(x - 3) - (x^2 - 6*x + 3)/(x - 3)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−(x2−6x)+3(x−3)2+2x−6x−3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 3}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x - 3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−(x2−6x)+3(x−3)2+2x−6x−3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 3}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x - 3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−(x2−6x)+3(x−3)2+2x−6x−3=−2x−6−x−3−x2+6x+3(−x−3)2- \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 3}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x - 3} = \frac{- 2 x - 6}{- x - 3} - \frac{x^{2} + 6 x + 3}{\left(- x - 3\right)^{2}}
- No
−(x2−6x)+3(x−3)2+2x−6x−3=−−2x−6−x−3+x2+6x+3(−x−3)2- \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 3}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{x - 3} = - \frac{- 2 x - 6}{- x - 3} + \frac{x^{2} + 6 x + 3}{\left(- x - 3\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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