Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2+x-2)/(x-3)

Gráfico de la función y = (x^2+x-2)/(x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2        
       x  + x - 2
f(x) = ----------
         x - 3
f(x)=(x2+x)−2x−3f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x - 3} 
f = (x^2 + x - 2)/(x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+x)−2x−3=0\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−2x_{2} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + x - 2)/(x - 3).
−2+02−3\frac{-2 + 0^{2}}{-3}
Resultado:
f(0)=23f{\left(0 \right)} = \frac{2}{3}
Punto:
(0, 2/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+1x−3−(x2+x)−2(x−3)2=0\frac{2 x + 1}{x - 3} - \frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3−10x_{1} = 3 - \sqrt{10}
x2=3+10x_{2} = 3 + \sqrt{10}
Signos de extremos en los puntos:
                     /                2         \  
                ____ |    /      ____\      ____|  
       ____  -\/ 10 *\1 + \3 - \/ 10 /  - \/ 10 /  
(3 - \/ 10, -------------------------------------)
                               10                  

                    /                         2\ 
               ____ |      ____   /      ____\ | 
       ____  \/ 10 *\1 + \/ 10  + \3 + \/ 10 / / 
(3 + \/ 10, -----------------------------------)
                              10


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3+10x_{1} = 3 + \sqrt{10}
Puntos máximos de la función:
x1=3−10x_{1} = 3 - \sqrt{10}
Decrece en los intervalos
(−∞,3−10]∪[3+10,∞)\left(-\infty, 3 - \sqrt{10}\right] \cup \left[3 + \sqrt{10}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[3−10,3+10]\left[3 - \sqrt{10}, 3 + \sqrt{10}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−2x+1x−3+x2+x−2(x−3)2)x−3=0\frac{2 \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 3} + \frac{x^{2} + x - 2}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+x)−2x−3)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x - 3}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+x)−2x−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x - 3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + x - 2)/(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+x)−2x(x−3))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x2+x)−2x(x−3))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+x)−2x−3=x2−x−2−x−3\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x - 3} = \frac{x^{2} - x - 2}{- x - 3}
- No
(x2+x)−2x−3=−x2−x−2−x−3\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{x - 3} = - \frac{x^{2} - x - 2}{- x - 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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