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(-9+x^2-8*x)/(5+3*x)

Gráfico de la función y = (-9+x^2-8*x)/(5+3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             2      
       -9 + x  - 8*x
f(x) = -------------
          5 + 3*x   
$$f{\left(x \right)} = \frac{- 8 x + \left(x^{2} - 9\right)}{3 x + 5}$$
f = (-8*x + x^2 - 9)/(3*x + 5)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1.66666666666667$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- 8 x + \left(x^{2} - 9\right)}{3 x + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 9$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 9$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-9 + x^2 - 8*x)/(5 + 3*x).
$$\frac{\left(-9 + 0^{2}\right) - 0}{0 \cdot 3 + 5}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{9}{5}$$
Punto:
(0, -9/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 \left(- 8 x + \left(x^{2} - 9\right)\right)}{\left(3 x + 5\right)^{2}} + \frac{2 x - 8}{3 x + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{13}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-13/3, -50/9)

(1, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{13}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{13}{3}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{13}{3}, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 \left(x - 4\right)}{3 x + 5} + 1 - \frac{9 \left(- x^{2} + 8 x + 9\right)}{\left(3 x + 5\right)^{2}}\right)}{3 x + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1.66666666666667$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} - 9\right)}{3 x + 5}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} - 9\right)}{3 x + 5}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-9 + x^2 - 8*x)/(5 + 3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(3 x + 5\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(3 x + 5\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{3}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- 8 x + \left(x^{2} - 9\right)}{3 x + 5} = \frac{x^{2} + 8 x - 9}{5 - 3 x}$$
- No
$$\frac{- 8 x + \left(x^{2} - 9\right)}{3 x + 5} = - \frac{x^{2} + 8 x - 9}{5 - 3 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-9+x^2-8*x)/(5+3*x)