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y=x^3-7x^2+15x-9
Trazado el gráfico de la función/ y=x^3-7x^2+15x-9

Gráfico de la función y = y=x^3-7x^2+15x-9

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2           
f(x) = x  - 7*x  + 15*x - 9
f(x)=(15x+(x3−7x2))−9f{\left(x \right)} = \left(15 x + \left(x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) - 9 
f = 15*x + x^3 - 7*x^2 - 9
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(15x+(x3−7x2))−9=0\left(15 x + \left(x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) - 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 7*x^2 + 15*x - 9.
−9+((03−7⋅02)+0⋅15)-9 + \left(\left(0^{3} - 7 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 15\right)
Resultado:
f(0)=−9f{\left(0 \right)} = -9
Punto:
(0, -9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−14x+15=03 x^{2} - 14 x + 15 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=53x_{1} = \frac{5}{3}
x2=3x_{2} = 3
Signos de extremos en los puntos:
      32 
(5/3, --)
      27 

(3, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Puntos máximos de la función:
x1=53x_{1} = \frac{5}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,53]∪[3,∞)\left(-\infty, \frac{5}{3}\right] \cup \left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
[53,3]\left[\frac{5}{3}, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−7)=02 \left(3 x - 7\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=73x_{1} = \frac{7}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[73,∞)\left[\frac{7}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,73]\left(-\infty, \frac{7}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((15x+(x3−7x2))−9)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(15 x + \left(x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) - 9\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((15x+(x3−7x2))−9)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(15 x + \left(x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) - 9\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 7*x^2 + 15*x - 9, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((15x+(x3−7x2))−9x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) - 9}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((15x+(x3−7x2))−9x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) - 9}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(15x+(x3−7x2))−9=−x3−7x2−15x−9\left(15 x + \left(x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) - 9 = - x^{3} - 7 x^{2} - 15 x - 9
- No
(15x+(x3−7x2))−9=x3+7x2+15x+9\left(15 x + \left(x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) - 9 = x^{3} + 7 x^{2} + 15 x + 9
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^3-7x^2+15x-9
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