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y=x^3-3x^2+6x-2
Trazado el gráfico de la función/ y=x^3-3x^2+6x-2

Gráfico de la función y = y=x^3-3x^2+6x-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2          
f(x) = x  - 3*x  + 6*x - 2
$$f{\left(x \right)} = \left(6 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) - 2$$ 
f = 6*x + x^3 - 3*x^2 - 2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(6 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}} + 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.403928362016678$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 3*x^2 + 6*x - 2.
$$-2 + \left(\left(0^{3} - 3 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 6\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(6 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) - 2\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(6 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) - 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 3*x^2 + 6*x - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(6 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) - 2}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(6 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) - 2}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(6 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) - 2 = - x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 2$$
- No
$$\left(6 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) - 2 = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^3-3x^2+6x-2
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