Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(0,3*x/(1-x^2))

Gráfico de la función y = arctg(0,3*x/(1-x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           //3*x\ \
           ||---| |
           |\ 10/ |
f(x) = atan|------|
           |     2|
           \1 - x /
f(x)=atan⁡(310x1−x2)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{3}{10} x}{1 - x^{2}} \right)} 
f = atan((3*x/10)/(1 - x^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(310x1−x2)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{3}{10} x}{1 - x^{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((3*x/10)/(1 - x^2)).
atan⁡(03101−02)\operatorname{atan}{\left(\frac{0 \frac{3}{10}}{1 - 0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x25(1−x2)2+310(1−x2)9x2100(1−x2)2+1=0\frac{\frac{3 x^{2}}{5 \left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{3}{10 \left(1 - x^{2}\right)}}{\frac{9 x^{2}}{100 \left(1 - x^{2}\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
60x(−4x2x2−1+3+9(2x2x2−1−1)2(x2−1)(9x2(x2−1)2+100))(x2−1)2(9x2(x2−1)2+100)=0\frac{60 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3 + \frac{9 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−−1+39110x_{2} = - \sqrt{-1 + \frac{\sqrt{391}}{10}}
x3=−1+39110x_{3} = \sqrt{-1 + \frac{\sqrt{391}}{10}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(60x(−4x2x2−1+3+9(2x2x2−1−1)2(x2−1)(9x2(x2−1)2+100))(x2−1)2(9x2(x2−1)2+100))=6.66666666666667\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{60 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3 + \frac{9 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right) = 6.66666666666667
lim⁡x→−1+(60x(−4x2x2−1+3+9(2x2x2−1−1)2(x2−1)(9x2(x2−1)2+100))(x2−1)2(9x2(x2−1)2+100))=6.66666666666667\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{60 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3 + \frac{9 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right) = 6.66666666666667
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→1−(60x(−4x2x2−1+3+9(2x2x2−1−1)2(x2−1)(9x2(x2−1)2+100))(x2−1)2(9x2(x2−1)2+100))=−6.66666666666667\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{60 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3 + \frac{9 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right) = -6.66666666666667
lim⁡x→1+(60x(−4x2x2−1+3+9(2x2x2−1−1)2(x2−1)(9x2(x2−1)2+100))(x2−1)2(9x2(x2−1)2+100))=−6.66666666666667\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{60 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3 + \frac{9 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{9 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 100\right)}\right) = -6.66666666666667
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−−1+39110]∪[0,∞)\left(-\infty, - \sqrt{-1 + \frac{\sqrt{391}}{10}}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[−1+39110,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{-1 + \frac{\sqrt{391}}{10}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(310x1−x2)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{3}{10} x}{1 - x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡(310x1−x2)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{3}{10} x}{1 - x^{2}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((3*x/10)/(1 - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(310x1−x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{3}{10} x}{1 - x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(310x1−x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{3}{10} x}{1 - x^{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(310x1−x2)=−atan⁡(3x10(1−x2))\operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{3}{10} x}{1 - x^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{10 \left(1 - x^{2}\right)} \right)}
- No
atan⁡(310x1−x2)=atan⁡(3x10(1−x2))\operatorname{atan}{\left(\frac{\frac{3}{10} x}{1 - x^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{10 \left(1 - x^{2}\right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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