Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(2x/(x+3))

Gráfico de la función y = arctg(2x/(x+3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 2*x \
f(x) = atan|-----|
           \x + 3/
f(x)=atan⁡(2xx+3)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{x + 3} \right)} 
f = atan((2*x)/(x + 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(2xx+3)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{x + 3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((2*x)/(x + 3)).
atan⁡(0⋅23)\operatorname{atan}{\left(\frac{0 \cdot 2}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x+3)2+2x+34x2(x+3)2+1=0\frac{- \frac{2 x}{\left(x + 3\right)^{2}} + \frac{2}{x + 3}}{\frac{4 x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(xx+3−1)(−4x(xx+3−1)(x+3)(4x2(x+3)2+1)+1)(x+3)2(4x2(x+3)2+1)=0\frac{4 \left(\frac{x}{x + 3} - 1\right) \left(- \frac{4 x \left(\frac{x}{x + 3} - 1\right)}{\left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x + 3\right)^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−35x_{1} = - \frac{3}{5}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−3x_{1} = -3

lim⁡x→−3−(4(xx+3−1)(−4x(xx+3−1)(x+3)(4x2(x+3)2+1)+1)(x+3)2(4x2(x+3)2+1))=0.111111111111111\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{4 \left(\frac{x}{x + 3} - 1\right) \left(- \frac{4 x \left(\frac{x}{x + 3} - 1\right)}{\left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x + 3\right)^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 0.111111111111111
lim⁡x→−3+(4(xx+3−1)(−4x(xx+3−1)(x+3)(4x2(x+3)2+1)+1)(x+3)2(4x2(x+3)2+1))=0.111111111111111\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{4 \left(\frac{x}{x + 3} - 1\right) \left(- \frac{4 x \left(\frac{x}{x + 3} - 1\right)}{\left(x + 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x + 3\right)^{2} \left(\frac{4 x^{2}}{\left(x + 3\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 0.111111111111111
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−35]\left(-\infty, - \frac{3}{5}\right]
Convexa en los intervalos
[−35,∞)\left[- \frac{3}{5}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(2xx+3)=atan⁡(2)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{x + 3} \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=atan⁡(2)y = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
lim⁡x→∞atan⁡(2xx+3)=atan⁡(2)\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{x + 3} \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=atan⁡(2)y = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((2*x)/(x + 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(2xx+3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{x + 3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(2xx+3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{x + 3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(2xx+3)=−atan⁡(2x3−x)\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{x + 3} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3 - x} \right)}
- No
atan⁡(2xx+3)=atan⁡(2x3−x)\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{x + 3} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3 - x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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