Sr Examen

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x/sqrt(1-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ x/sqrt(1-x^2)

Gráfico de la función y = x/sqrt(1-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            x     
f(x) = -----------
          ________
         /      2 
       \/  1 - x
f(x)=x1−x2f{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} 
f = x/sqrt(1 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x1−x2=0\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/sqrt(1 - x^2).
01−02\frac{0}{\sqrt{1 - 0^{2}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2(1−x2)32+11−x2=0\frac{x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(−3x2x2−1+3)(1−x2)32=0\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(x(−3x2x2−1+3)(1−x2)32)=∞i\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i
lim⁡x→−1+(x(−3x2x2−1+3)(1−x2)32)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(x(−3x2x2−1+3)(1−x2)32)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(x(−3x2x2−1+3)(1−x2)32)=−∞i\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x1−x2)=i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=iy = i
lim⁡x→∞(x1−x2)=−i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−iy = - i
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/sqrt(1 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞11−x2=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞11−x2=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x1−x2=−x1−x2\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}
- No
x1−x2=x1−x2\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/sqrt(1-x^2)
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