Sr Examen

Otras calculadoras

x/(e^x-1)
Trazado el gráfico de la función/ x/(e^x-1)

Gráfico de la función y = x/(e^x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         x   
f(x) = ------
        x    
       E  - 1
f(x)=xex−1f{\left(x \right)} = \frac{x}{e^{x} - 1} 
f = x/(E^x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xex−1=0\frac{x}{e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=103.412938828373x_{1} = 103.412938828373
x2=38.0568714825062x_{2} = 38.0568714825062
x3=81.4872456640903x_{3} = 81.4872456640903
x4=85.4703620749206x_{4} = 85.4703620749206
x5=36.1413882660097x_{5} = 36.1413882660097
x6=55.67586733869x_{6} = 55.67586733869
x7=101.418161552262x_{7} = 101.418161552262
x8=79.496455118891x_{8} = 79.496455118891
x9=45.8319875395696x_{9} = 45.8319875395696
x10=105.407942520376x_{10} = 105.407942520376
x11=117.381987933686x_{11} = 117.381987933686
x12=107.40315817241x_{12} = 107.40315817241
x13=73.5277731870455x_{13} = 73.5277731870455
x14=115.385891060967x_{14} = 115.385891060967
x15=113.389949729147x_{15} = 113.389949729147
x16=39.9866376739683x_{16} = 39.9866376739683
x17=93.4416565533312x_{17} = 93.4416565533312
x18=34.2454006473895x_{18} = 34.2454006473895
x19=67.5660769899711x_{19} = 67.5660769899711
x20=53.7006804984822x_{20} = 53.7006804984822
x21=75.5166588459953x_{21} = 75.5166588459953
x22=119.378231552779x_{22} = 119.378231552779
x23=69.5523925194344x_{23} = 69.5523925194344
x24=109.398572537176x_{24} = 109.398572537176
x25=89.4552548670559x_{25} = 89.4552548670559
x26=87.4626045093137x_{26} = 87.4626045093137
x27=57.6533514231885x_{27} = 57.6533514231885
x28=83.4785626915261x_{28} = 83.4785626915261
x29=65.580821222158x_{29} = 65.580821222158
x30=77.5062407712727x_{30} = 77.5062407712727
x31=97.429350983852x_{31} = 97.429350983852
x32=95.4353540260187x_{32} = 95.4353540260187
x33=61.614029218278x_{33} = 61.614029218278
x34=47.7931569932434x_{34} = 47.7931569932434
x35=43.876254509419x_{35} = 43.876254509419
x36=32.3772303055367x_{36} = 32.3772303055367
x37=63.5967547129854x_{37} = 63.5967547129854
x38=91.4482816547886x_{38} = 91.4482816547886
x39=71.5396566043977x_{39} = 71.5396566043977
x40=49.7587989604181x_{40} = 49.7587989604181
x41=51.7281686335152x_{41} = 51.7281686335152
x42=59.6328238138969x_{42} = 59.6328238138969
x43=121.374613775997x_{43} = 121.374613775997
x44=99.4236264980399x_{44} = 99.4236264980399
x45=41.9272307470761x_{45} = 41.9272307470761
x46=111.394173451874x_{46} = 111.394173451874
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(E^x - 1).
0−1+e0\frac{0}{-1 + e^{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xex(ex−1)2+1ex−1=0- \frac{x e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x(1−2exex−1)+2)ex(ex−1)2=0- \frac{\left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−81.1882678183563x_{1} = -81.1882678183563
x2=59.6533514231885x_{2} = 59.6533514231885
x3=117.385891060967x_{3} = 117.385891060967
x4=81.496455118891x_{4} = 81.496455118891
x5=40.056871550139x_{5} = 40.056871550139
x6=45.8762545095884x_{6} = 45.8762545095884
x7=−83.1789726997072x_{7} = -83.1789726997072
x8=95.4416565533312x_{8} = 95.4416565533312
x9=−115.080930865701x_{9} = -115.080930865701
x10=−73.2319064024203x_{10} = -73.2319064024203
x11=113.394173451874x_{11} = 113.394173451874
x12=−37.84637565678x_{12} = -37.84637565678
x13=73.5396566043977x_{13} = 73.5396566043977
x14=57.67586733869x_{14} = 57.67586733869
x15=−49.4891864944474x_{15} = -49.4891864944474
x16=−103.109329237227x_{16} = -103.109329237227
x17=−119.072920781941x_{17} = -119.072920781941
x18=105.412938828373x_{18} = 105.412938828373
x19=−113.085180982879x_{19} = -113.085180982879
x20=79.5062407712727x_{20} = 79.5062407712727
x21=−51.45419010544x_{21} = -51.45419010544
x22=−35.9540446499353x_{22} = -35.9540446499353
x23=99.429350983852x_{23} = 99.429350983852
x24=67.580821222158x_{24} = 67.580821222158
x25=111.398572537176x_{25} = 111.398572537176
x26=−67.2735421114241x_{26} = -67.2735421114241
x27=55.7006804984822x_{27} = 55.7006804984822
x28=−101.114833112977x_{28} = -101.114833112977
x29=91.4552548670559x_{29} = 91.4552548670559
x30=−57.369883839131x_{30} = -57.369883839131
x31=121.378231552779x_{31} = 121.378231552779
x32=−89.1541152286569x_{32} = -89.1541152286569
x33=107.407942520376x_{33} = 107.407942520376
x34=63.614029218278x_{34} = 63.614029218278
x35=85.4785626915261x_{35} = 85.4785626915261
x36=−107.099039845199x_{36} = -107.099039845199
x37=83.4872456640903x_{37} = 83.4872456640903
x38=49.7931569932465x_{38} = 49.7931569932465
x39=−75.2198969347223x_{39} = -75.2198969347223
x40=−55.3950840173981x_{40} = -55.3950840173981
x41=−105.10407015753x_{41} = -105.10407015753
x42=−45.5740005053856x_{42} = -45.5740005053856
x43=−69.2586229734047x_{43} = -69.2586229734047
x44=32.5513247142705x_{44} = 32.5513247142705
x45=−79.1981473783759x_{45} = -79.1981473783759
x46=47.8319875395926x_{46} = 47.8319875395926
x47=119.381987933686x_{47} = 119.381987933686
x48=43.9272307483245x_{48} = 43.9272307483245
x49=−111.089608132217x_{49} = -111.089608132217
x50=97.4353540260187x_{50} = 97.4353540260187
x51=38.1413887627425x_{51} = 38.1413887627425
x52=−32.2738175751516x_{52} = -32.2738175751516
x53=103.418161552262x_{53} = 103.418161552262
x54=−63.3071694941258x_{54} = -63.3071694941258
x55=−47.5287883412139x_{55} = -47.5287883412139
x56=41.9866376831621x_{56} = 41.9866376831621
x57=75.5277731870455x_{57} = 75.5277731870455
x58=−91.146704685936x_{58} = -91.146704685936
x59=87.4703620749206x_{59} = 87.4703620749206
x60=−59.3470343910748x_{60} = -59.3470343910748
x61=61.6328238138969x_{61} = 61.6328238138969
x62=−53.4230249783973x_{62} = -53.4230249783973
x63=69.5660769899711x_{63} = 69.5660769899711
x64=−65.2896724119287x_{64} = -65.2896724119287
x65=−39.7592415204806x_{65} = -39.7592415204806
x66=−97.1266472537626x_{66} = -97.1266472537626
x67=−71.2447823410302x_{67} = -71.2447823410302
x68=−34.0912704407968x_{68} = -34.0912704407968
x69=53.7281686335153x_{69} = 53.7281686335153
x70=36.2454042865303x_{70} = 36.2454042865303
x71=−43.6261544546536x_{71} = -43.6261544546536
x72=−85.1702113647074x_{72} = -85.1702113647074
x73=101.42362649804x_{73} = 101.42362649804
x74=71.5523925194344x_{74} = 71.5523925194344
x75=51.7587989604185x_{75} = 51.7587989604185
x76=109.40315817241x_{76} = 109.40315817241
x77=−77.2086687051389x_{77} = -77.2086687051389
x78=115.389949729147x_{78} = 115.389949729147
x79=−109.094223645316x_{79} = -109.094223645316
x80=30.7948477241601x_{80} = 30.7948477241601
x81=−121.06914228288x_{81} = -121.06914228288
x82=−87.1619388762717x_{82} = -87.1619388762717
x83=34.3772568547324x_{83} = 34.3772568547324
x84=−41.6870582908352x_{84} = -41.6870582908352
x85=−61.3262172000187x_{85} = -61.3262172000187
x86=77.5166588459953x_{86} = 77.5166588459953
x87=−95.1329980618501x_{87} = -95.1329980618501
x88=−117.076847342498x_{88} = -117.076847342498
x89=−99.1205993527235x_{89} = -99.1205993527235
x90=93.4482816547886x_{90} = 93.4482816547886
x91=65.5967547129854x_{91} = 65.5967547129854
x92=−93.1396752246407x_{92} = -93.1396752246407
x93=89.4626045093137x_{93} = 89.4626045093137
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−(x(1−2exex−1)+2)ex(ex−1)2)=16\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{6}
lim⁡x→0+(−(x(1−2exex−1)+2)ex(ex−1)2)=16\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{6}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xex−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{e^{x} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xex−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(E^x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1ex−1=−1\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^{x} - 1} = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞1ex−1=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} - 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex−1=−x−1+e−x\frac{x}{e^{x} - 1} = - \frac{x}{-1 + e^{- x}}
- No
xex−1=x−1+e−x\frac{x}{e^{x} - 1} = \frac{x}{-1 + e^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/(e^x-1)
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