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Trazado el gráfico de la función/ 5cosx+sin4x−10x

Gráfico de la función y = 5cosx+sin4x−10x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 5*cos(x) + sin(4*x) - 10*x
f(x)=−10x+(sin⁡(4x)+5cos⁡(x))f{\left(x \right)} = - 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) 
f = -10*x + sin(4*x) + 5*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−10x+(sin⁡(4x)+5cos⁡(x))=0- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.520846753420125x_{1} = 0.520846753420125
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*cos(x) + sin(4*x) - 10*x.
−0+(sin⁡(0⋅4)+5cos⁡(0))- 0 + \left(\sin{\left(0 \cdot 4 \right)} + 5 \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5sin⁡(x)+4cos⁡(4x)−10=0- 5 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)} - 10 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(16sin⁡(4x)+5cos⁡(x))=0- (16 \sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−10x+(sin⁡(4x)+5cos⁡(x)))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−10x+(sin⁡(4x)+5cos⁡(x)))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*cos(x) + sin(4*x) - 10*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−10x+(sin⁡(4x)+5cos⁡(x))x)=−10\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -10
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−10xy = - 10 x
lim⁡x→∞(−10x+(sin⁡(4x)+5cos⁡(x))x)=−10\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -10
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−10xy = - 10 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−10x+(sin⁡(4x)+5cos⁡(x))=10x−sin⁡(4x)+5cos⁡(x)- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) = 10 x - \sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}
- No
−10x+(sin⁡(4x)+5cos⁡(x))=−10x+sin⁡(4x)−5cos⁡(x)- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) = - 10 x + \sin{\left(4 x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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