Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2*y-y^2)

Gráfico de la función y = sqrt(2*y-y^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________
         /        2 
f(y) = \/  2*y - y
$$f{\left(y \right)} = \sqrt{- y^{2} + 2 y}$$ 
f = sqrt(-y^2 + 2*y)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{- y^{2} + 2 y} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 2$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en sqrt(2*y - y^2).
$$\sqrt{0 \cdot 2 - 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1 - y}{\sqrt{- y^{2} + 2 y}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$y_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{1 + \frac{\left(y - 1\right)^{2}}{y \left(2 - y\right)}}{\sqrt{y \left(2 - y\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \sqrt{- y^{2} + 2 y} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty} \sqrt{- y^{2} + 2 y} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2*y - y^2), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- y^{2} + 2 y}}{y}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - i y$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- y^{2} + 2 y}}{y}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = i y$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{- y^{2} + 2 y} = \sqrt{- y^{2} - 2 y}$$
- No
$$\sqrt{- y^{2} + 2 y} = - \sqrt{- y^{2} - 2 y}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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