Sr Examen

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sqrt((9-x^2)*(x^2-4))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt((9-x^2)*(x^2-4))

Gráfico de la función y = sqrt((9-x^2)*(x^2-4))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ___________________
         / /     2\ / 2    \ 
f(x) = \/  \9 - x /*\x  - 4/
f(x)=(9−x2)(x2−4)f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)} 
f = sqrt((9 - x^2)*(x^2 - 4))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(9−x2)(x2−4)=0\sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
x3=2x_{3} = 2
x4=3x_{4} = 3
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
x3=2x_{3} = 2
x4=3x_{4} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((9 - x^2)*(x^2 - 4)).
(−4+02)(9−02)\sqrt{\left(-4 + 0^{2}\right) \left(9 - 0^{2}\right)}
Resultado:
f(0)=6if{\left(0 \right)} = 6 i
Punto:
(0, 6*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(9−x2)(x2−4)(x(9−x2)−x(x2−4))(9−x2)(x2−4)=0\frac{\sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(x \left(9 - x^{2}\right) - x \left(x^{2} - 4\right)\right)}{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−262x_{2} = - \frac{\sqrt{26}}{2}
x3=262x_{3} = \frac{\sqrt{26}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 6*I)

    ____       
 -\/ 26        
(--------, 5/2)
    2          

   ____      
 \/ 26       
(------, 5/2)
   2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x3=−262x_{3} = - \frac{\sqrt{26}}{2}
x3=262x_{3} = \frac{\sqrt{26}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−262]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{26}}{2}\right]
Crece en los intervalos
[262,∞)\left[\frac{\sqrt{26}}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(9−x2)(x2−4)=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(9−x2)(x2−4)=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((9 - x^2)*(x^2 - 4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((9−x2)(x2−4)x)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)}}{x}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((9−x2)(x2−4)x)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)}}{x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(9−x2)(x2−4)=(9−x2)(x2−4)\sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)}
- Sí
(9−x2)(x2−4)=−(9−x2)(x2−4)\sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)} = - \sqrt{\left(9 - x^{2}\right) \left(x^{2} - 4\right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt((9-x^2)*(x^2-4))
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