Sr Examen

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sqrt(-exp(-sin(x))+sin(x))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(-exp(-sin(x))+sin(x))

Gráfico de la función y = sqrt(-exp(-sin(x))+sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _____________________
         /    -sin(x)          
f(x) = \/  - e        + sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}}$$ 
f = sqrt(sin(x) - exp(-sin(x)))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(-exp(-sin(x)) + sin(x)).
$$\sqrt{- e^{- \sin{\left(0 \right)}} + \sin{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = i$$
Punto:
(0, i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{- \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{2}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     ________ 
(----, \/ -1 - E )
  2               

        _________ 
 pi    /      -1  
(--, \/  1 - e   )
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}} = \left\langle 0, \sqrt{1 - e^{-1}}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \sqrt{1 - e^{-1}}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}} = \left\langle 0, \sqrt{1 - e^{-1}}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \sqrt{1 - e^{-1}}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-exp(-sin(x)) + sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}} = \sqrt{- e^{\sin{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)}}$$
- No
$$\sqrt{\sin{\left(x \right)} - e^{- \sin{\left(x \right)}}} = - \sqrt{- e^{\sin{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(-exp(-sin(x))+sin(x))
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