Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(4*x)/(1+exp(x*(4+x^3)))

Gráfico de la función y = exp(4*x)/(1+exp(x*(4+x^3)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              4*x     
             e        
f(x) = ---------------
              /     3\
            x*\4 + x /
       1 + e
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{4 x}}{e^{x \left(x^{3} + 4\right)} + 1}$$ 
f = exp(4*x)/(exp(x*(x^3 + 4)) + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{e^{4 x}}{e^{x \left(x^{3} + 4\right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(4*x)/(1 + exp(x*(4 + x^3))).
$$\frac{e^{0 \cdot 4}}{1 + e^{0 \left(0^{3} + 4\right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}$$
Punto:
(0, 1/2)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{4 x}}{e^{x \left(x^{3} + 4\right)} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{4 x}}{e^{x \left(x^{3} + 4\right)} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(4*x)/(1 + exp(x*(4 + x^3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{4 x}}{x \left(e^{x \left(x^{3} + 4\right)} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{4 x}}{x \left(e^{x \left(x^{3} + 4\right)} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{e^{4 x}}{e^{x \left(x^{3} + 4\right)} + 1} = \frac{e^{- 4 x}}{1 + e^{- x \left(4 - x^{3}\right)}}$$
- No
$$\frac{e^{4 x}}{e^{x \left(x^{3} + 4\right)} + 1} = - \frac{e^{- 4 x}}{1 + e^{- x \left(4 - x^{3}\right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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