Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x)/(20+x)

Gráfico de la función y = sqrt(x)/(20+x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___ 
       \/ x  
f(x) = ------
       20 + x
f(x)=xx+20f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{x + 20} 
f = sqrt(x)/(x + 20)
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−20x_{1} = -20
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx+20=0\frac{\sqrt{x}}{x + 20} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x)/(20 + x).
020\frac{\sqrt{0}}{20}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x(x+20)2+12x(x+20)=0- \frac{\sqrt{x}}{\left(x + 20\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 20\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=20x_{1} = 20
Signos de extremos en los puntos:
       ___ 
     \/ 5  
(20, -----)
       20


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=20x_{1} = 20
Decrece en los intervalos
(−∞,20]\left(-\infty, 20\right]
Crece en los intervalos
[20,∞)\left[20, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−20x_{1} = -20
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx+20)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 20}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(xx+20)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 20}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x)/(20 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(x+20))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \left(x + 20\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(x+20))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x} \left(x + 20\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx+20=−x20−x\frac{\sqrt{x}}{x + 20} = \frac{\sqrt{- x}}{20 - x}
- No
xx+20=−−x20−x\frac{\sqrt{x}}{x + 20} = - \frac{\sqrt{- x}}{20 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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