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Trazado el gráfico de la función/ 2x^3-2x^2+x+1

Gráfico de la función y = 2x^3-2x^2+x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3      2        
f(x) = 2*x  - 2*x  + x + 1
f(x)=(x+(2x3−2x2))+1f{\left(x \right)} = \left(x + \left(2 x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 1 
f = x + 2*x^3 - 2*x^2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+(2x3−2x2))+1=0\left(x + \left(2 x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−8+3114433+168+311443+13x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{8 + \frac{3 \sqrt{114}}{4}}}{3} + \frac{1}{6 \sqrt[3]{8 + \frac{3 \sqrt{114}}{4}}} + \frac{1}{3}
Solución numérica
x1=−0.440619700538199x_{1} = -0.440619700538199
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x^3 - 2*x^2 + x + 1.
(2⋅03−2⋅02)+1\left(2 \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2}\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x2−4x+1=06 x^{2} - 4 x + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3x−1)=04 \left(3 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+(2x3−2x2))+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \left(2 x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+(2x3−2x2))+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \left(2 x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x^3 - 2*x^2 + x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+(2x3−2x2))+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \left(2 x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+(2x3−2x2))+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(2 x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+(2x3−2x2))+1=−2x3−2x2−x+1\left(x + \left(2 x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 1 = - 2 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1
- No
(x+(2x3−2x2))+1=2x3+2x2+x−1\left(x + \left(2 x^{3} - 2 x^{2}\right)\right) + 1 = 2 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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