Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(-log(cos(x)^2)+log(-1+cos(x)^2))

Gráfico de la función y = sqrt(-log(cos(x)^2)+log(-1+cos(x)^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________________________________
         /      /   2   \      /        2   \ 
f(x) = \/  - log\cos (x)/ + log\-1 + cos (x)/
f(x)=log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))f{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} 
f = sqrt(log(cos(x)^2 - 1) - log(cos(x)^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))=0\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(-log(cos(x)^2) + log(-1 + cos(x)^2)).
log⁡(−1+cos⁡2(0))−log⁡(cos⁡2(0))\sqrt{\log{\left(-1 + \cos^{2}{\left(0 \right)} \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(0 \right)} \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡2(x)−1log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))=0\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1+sin⁡2(x)cos⁡2(x)−1−cos⁡2(x)cos⁡2(x)−1−2sin⁡2(x)cos⁡2(x)(cos⁡2(x)−1)2−(1cos⁡(x)−cos⁡(x)cos⁡2(x)−1)2sin⁡2(x)log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))=0\frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1 + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} - \frac{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}}{\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))=log⁡(⟨−1,0⟩)−log⁡(⟨0,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 0\right\rangle \right)} - \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,0⟩)−log⁡(⟨0,1⟩)y = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 0\right\rangle \right)} - \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}}
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))=log⁡(⟨−1,0⟩)−log⁡(⟨0,1⟩)\lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 0\right\rangle \right)} - \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,0⟩)−log⁡(⟨0,1⟩)y = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 0\right\rangle \right)} - \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-log(cos(x)^2) + log(-1 + cos(x)^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))=log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}
- Sí
log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))=−log⁡(cos⁡2(x)−1)−log⁡(cos⁡2(x))\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = - \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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