Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt(-log(cos(x)^2)+log(-1+cos(x)^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          ____________________________________
         /      /   2   \      /        2   \ 
f(x) = \/  - log\cos (x)/ + log\-1 + cos (x)/ 
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}$$
f = sqrt(log(cos(x)^2 - 1) - log(cos(x)^2))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(-log(cos(x)^2) + log(-1 + cos(x)^2)).
$$\sqrt{\log{\left(-1 + \cos^{2}{\left(0 \right)} \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(0 \right)} \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}}{\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1 + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} - \frac{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}}{\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 0\right\rangle \right)} - \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 0\right\rangle \right)} - \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 0\right\rangle \right)} - \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 0\right\rangle \right)} - \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-log(cos(x)^2) + log(-1 + cos(x)^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}$$
- Sí
$$\sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}} = - \sqrt{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}$$
- No
es decir, función
es
par