Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-x^3
-
x*2
-
x/(x-2)
- Límite de la función:
-
(x^2+8*x)/(x^2+6*x^3)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos + ocho *x)/(x^ dos + seis *x^ tres)
- (x al cuadrado más 8 multiplicar por x) dividir por (x al cuadrado más 6 multiplicar por x al cubo )
- (x en el grado dos más ocho multiplicar por x) dividir por (x en el grado dos más seis multiplicar por x en el grado tres)
- (x2+8*x)/(x2+6*x3)
- x2+8*x/x2+6*x3
- (x²+8*x)/(x²+6*x³)
- (x en el grado 2+8*x)/(x en el grado 2+6*x en el grado 3)
- (x^2+8x)/(x^2+6x^3)
- (x2+8x)/(x2+6x3)
- x2+8x/x2+6x3
- x^2+8x/x^2+6x^3
- (x^2+8*x) dividir por (x^2+6*x^3)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+8*x)/(x^2-6*x^3)
- (x^2-8*x)/(x^2+6*x^3)
Gráfico de la función y = (x^2+8*x)/(x^2+6*x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x + 8*x
f(x) = ---------
2 3
x + 6*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}}$$
f = (x^2 + 8*x)/(6*x^3 + x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.166666666666667$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -0.166666666666667$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -8$$
Solución numérica
$$x_{1} = -8$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -8$$
Solución numérica
$$x_{1} = -8$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x + 8}{6 x^{3} + x^{2}} + \frac{\left(- 18 x^{2} - 2 x\right) \left(x^{2} + 8 x\right)}{\left(6 x^{3} + x^{2}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8 - \frac{2 \sqrt{141}}{3}$$
$$x_{2} = -8 + \frac{2 \sqrt{141}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -8 - \frac{2 \sqrt{141}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -8 + \frac{2 \sqrt{141}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-8 - \frac{2 \sqrt{141}}{3}, -8 + \frac{2 \sqrt{141}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -8 - \frac{2 \sqrt{141}}{3}\right] \cup \left[-8 + \frac{2 \sqrt{141}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x + 8}{6 x^{3} + x^{2}} + \frac{\left(- 18 x^{2} - 2 x\right) \left(x^{2} + 8 x\right)}{\left(6 x^{3} + x^{2}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8 - \frac{2 \sqrt{141}}{3}$$
$$x_{2} = -8 + \frac{2 \sqrt{141}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ _____\ _____
| 2*\/ 141 | 16*\/ 141
_____ -64 + |-8 - ---------| - ----------
2*\/ 141 \ 3 / 3
(-8 - ---------, ---------------------------------------)
3 2 3
/ _____\ / _____\
| 2*\/ 141 | | 2*\/ 141 |
|-8 - ---------| + 6*|-8 - ---------|
\ 3 / \ 3 / 2
/ _____\ _____
| 2*\/ 141 | 16*\/ 141
_____ -64 + |-8 + ---------| + ----------
2*\/ 141 \ 3 / 3
(-8 + ---------, ---------------------------------------)
3 2 3
/ _____\ / _____\
| 2*\/ 141 | | 2*\/ 141 |
|-8 + ---------| + 6*|-8 + ---------|
\ 3 / \ 3 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -8 - \frac{2 \sqrt{141}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -8 + \frac{2 \sqrt{141}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-8 - \frac{2 \sqrt{141}}{3}, -8 + \frac{2 \sqrt{141}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -8 - \frac{2 \sqrt{141}}{3}\right] \cup \left[-8 + \frac{2 \sqrt{141}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8 - \frac{2 \sqrt[3]{1692}}{3} - \frac{\sqrt[3]{13254}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.166666666666667$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -0.166666666666667^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -0.166666666666667^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.166666666666667$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-8 - \frac{2 \sqrt[3]{1692}}{3} - \frac{\sqrt[3]{13254}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -8 - \frac{2 \sqrt[3]{1692}}{3} - \frac{\sqrt[3]{13254}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8 - \frac{2 \sqrt[3]{1692}}{3} - \frac{\sqrt[3]{13254}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.166666666666667$$
$$x_{2} = 0$$
$$\lim_{x \to -0.166666666666667^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -0.166666666666667^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.166666666666667$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 4\right) \left(9 x + 1\right)}{x \left(6 x + 1\right)} - \frac{\left(x + 8\right) \left(18 x + 1 - \frac{4 \left(9 x + 1\right)^{2}}{6 x + 1}\right)}{x \left(6 x + 1\right)}\right)}{x^{2} \left(6 x + 1\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-8 - \frac{2 \sqrt[3]{1692}}{3} - \frac{\sqrt[3]{13254}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -8 - \frac{2 \sqrt[3]{1692}}{3} - \frac{\sqrt[3]{13254}}{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.166666666666667$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -0.166666666666667$$
$$x_{2} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 8*x)/(x^2 + 6*x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x}{x \left(6 x^{3} + x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x}{x \left(6 x^{3} + x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x}{x \left(6 x^{3} + x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 8 x}{x \left(6 x^{3} + x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}} = \frac{x^{2} - 8 x}{- 6 x^{3} + x^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}} = - \frac{x^{2} - 8 x}{- 6 x^{3} + x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}} = \frac{x^{2} - 8 x}{- 6 x^{3} + x^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + x^{2}} = - \frac{x^{2} - 8 x}{- 6 x^{3} + x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar