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Trazado el gráfico de la función/ (4x^2+4x+1)/(2x-1)^2

Gráfico de la función y = (4x^2+4x+1)/(2x-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
       4*x  + 4*x + 1
f(x) = --------------
                  2  
         (2*x - 1)
f(x)=(4x2+4x)+1(2x−1)2f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} 
f = (4*x^2 + 4*x + 1)/(2*x - 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4x2+4x)+1(2x−1)2=0\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4*x^2 + 4*x + 1)/(2*x - 1)^2.
(4⋅02+0⋅4)+1(−1+0⋅2)2\frac{\left(4 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4\right) + 1}{\left(-1 + 0 \cdot 2\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4−8x)((4x2+4x)+1)(2x−1)4+8x+4(2x−1)2=0\frac{\left(4 - 8 x\right) \left(\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{4}} + \frac{8 x + 4}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-1/2, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(1−4(2x+1)2x−1+3(4x(x+1)+1)(2x−1)2)(2x−1)2=0\frac{8 \left(1 - \frac{4 \left(2 x + 1\right)}{2 x - 1} + \frac{3 \left(4 x \left(x + 1\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.5x_{1} = 0.5

lim⁡x→0.5−(8(1−4(2x+1)2x−1+3(4x(x+1)+1)(2x−1)2)(2x−1)2)=∞\lim_{x \to 0.5^-}\left(\frac{8 \left(1 - \frac{4 \left(2 x + 1\right)}{2 x - 1} + \frac{3 \left(4 x \left(x + 1\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→0.5+(8(1−4(2x+1)2x−1+3(4x(x+1)+1)(2x−1)2)(2x−1)2)=∞\lim_{x \to 0.5^+}\left(\frac{8 \left(1 - \frac{4 \left(2 x + 1\right)}{2 x - 1} + \frac{3 \left(4 x \left(x + 1\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((4x2+4x)+1(2x−1)2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((4x2+4x)+1(2x−1)2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x^2 + 4*x + 1)/(2*x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4x2+4x)+1x(2x−1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((4x2+4x)+1x(2x−1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4x2+4x)+1(2x−1)2=4x2−4x+1(−2x−1)2\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = \frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}
- No
(4x2+4x)+1(2x−1)2=−4x2−4x+1(−2x−1)2\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = - \frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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