Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (4x^ dos +4x+ uno)/(dos x- uno)^2
- (4x al cuadrado más 4x más 1) dividir por (2x menos 1) al cuadrado
- (4x en el grado dos más 4x más uno) dividir por (dos x menos uno) al cuadrado
- (4x2+4x+1)/(2x-1)2
- 4x2+4x+1/2x-12
- (4x²+4x+1)/(2x-1)²
- (4x en el grado 2+4x+1)/(2x-1) en el grado 2
- 4x^2+4x+1/2x-1^2
- (4x^2+4x+1) dividir por (2x-1)^2
-
Expresiones semejantes
- (4x^2+4x+1)/(2x+1)^2
- (4x^2-4x+1)/(2x-1)^2
- (4x^2+4x-1)/(2x-1)^2
Gráfico de la función y = (4x^2+4x+1)/(2x-1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
4*x + 4*x + 1
f(x) = --------------
2
(2*x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}$$
f = (4*x^2 + 4*x + 1)/(2*x - 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{1} = 0.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 8 x\right) \left(\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{4}} + \frac{8 x + 4}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 8 x\right) \left(\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{4}} + \frac{8 x + 4}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1/2, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(1 - \frac{4 \left(2 x + 1\right)}{2 x - 1} + \frac{3 \left(4 x \left(x + 1\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.5$$
$$\lim_{x \to 0.5^-}\left(\frac{8 \left(1 - \frac{4 \left(2 x + 1\right)}{2 x - 1} + \frac{3 \left(4 x \left(x + 1\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0.5^+}\left(\frac{8 \left(1 - \frac{4 \left(2 x + 1\right)}{2 x - 1} + \frac{3 \left(4 x \left(x + 1\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(1 - \frac{4 \left(2 x + 1\right)}{2 x - 1} + \frac{3 \left(4 x \left(x + 1\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0.5$$
$$\lim_{x \to 0.5^-}\left(\frac{8 \left(1 - \frac{4 \left(2 x + 1\right)}{2 x - 1} + \frac{3 \left(4 x \left(x + 1\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0.5^+}\left(\frac{8 \left(1 - \frac{4 \left(2 x + 1\right)}{2 x - 1} + \frac{3 \left(4 x \left(x + 1\right) + 1\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{1} = 0.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x^2 + 4*x + 1)/(2*x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{x \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = \frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = - \frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = \frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1}{\left(2 x - 1\right)^{2}} = - \frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{\left(- 2 x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar