Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos)/((x+ uno)^ dos *(x+ tres))
- (x al cuadrado ) dividir por ((x más 1) al cuadrado multiplicar por (x más 3))
- (x en el grado dos) dividir por ((x más uno) en el grado dos multiplicar por (x más tres))
- (x2)/((x+1)2*(x+3))
- x2/x+12*x+3
- (x²)/((x+1)²*(x+3))
- (x en el grado 2)/((x+1) en el grado 2*(x+3))
- (x^2)/((x+1)^2(x+3))
- (x2)/((x+1)2(x+3))
- x2/x+12x+3
- x^2/x+1^2x+3
- (x^2) dividir por ((x+1)^2*(x+3))
-
Expresiones semejantes
- (x^2)/((x+1)^2*(x-3))
- (x^2)/((x-1)^2*(x+3))
Gráfico de la función y = (x^2)/((x+1)^2*(x+3))
Solución
Ha introducido
[src]
2
x
f(x) = ----------------
2
(x + 1) *(x + 3)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}$$
f = x^2/(((x + 1)^2*(x + 3)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} \left(- \left(x + 1\right)^{2} - \left(x + 3\right) \left(2 x + 2\right)\right)}{\left(x + 1\right)^{4} \left(x + 3\right)^{2}} + 2 x \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} \left(- \left(x + 1\right)^{2} - \left(x + 3\right) \left(2 x + 2\right)\right)}{\left(x + 1\right)^{4} \left(x + 3\right)^{2}} + 2 x \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 4)
(0, 0)
(3, 3/32)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{x^{2} \left(\left(3 x + 7\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x + 1}\right) + \frac{3 x + 7}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x + 1} + \frac{2 \left(3 x + 7\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} - \frac{4 x \left(3 x + 7\right)}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} - \frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + \frac{74}{\sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36}} + 2 \sqrt[3]{9 \sqrt{7} + 36} + 13}} + 26}}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/(((x + 1)^2*(x + 3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = \frac{x^{2}}{\left(1 - x\right)^{2} \left(3 - x\right)}$$
- No
$$\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = - \frac{x^{2}}{\left(1 - x\right)^{2} \left(3 - x\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = \frac{x^{2}}{\left(1 - x\right)^{2} \left(3 - x\right)}$$
- No
$$\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = - \frac{x^{2}}{\left(1 - x\right)^{2} \left(3 - x\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico