Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-4)^5+4x+4
-
(x+4)^2-3
-
x^4-3x^2/(x^2-1)^2
-
x^4-18x^2+5
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro -3x^ dos /(x^ dos - uno)^ dos
- x en el grado 4 menos 3x al cuadrado dividir por (x al cuadrado menos 1) al cuadrado
- x en el grado cuatro menos 3x en el grado dos dividir por (x en el grado dos menos uno) en el grado dos
- x4-3x2/(x2-1)2
- x4-3x2/x2-12
- x⁴-3x²/(x²-1)²
- x en el grado 4-3x en el grado 2/(x en el grado 2-1) en el grado 2
- x^4-3x^2/x^2-1^2
- x^4-3x^2 dividir por (x^2-1)^2
-
Expresiones semejantes
- x^4-3x^2/(x^2+1)^2
- x^4+3x^2/(x^2-1)^2
Gráfico de la función y = x^4-3x^2/(x^2-1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
4 3*x
f(x) = x - ---------
2
/ 2 \
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
f = x^4 - 3*x^2/(x^2 - 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt[3]{2} + 4 \sqrt[3]{9 \sqrt{77} + 79} + 2^{\frac{2}{3}} \left(9 \sqrt{77} + 79\right)^{\frac{2}{3}}}}{6 \sqrt[6]{9 \sqrt{77} + 79}}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt[3]{2} + 4 \sqrt[3]{9 \sqrt{77} + 79} + 2^{\frac{2}{3}} \left(9 \sqrt{77} + 79\right)^{\frac{2}{3}}}}{6 \sqrt[6]{9 \sqrt{77} + 79}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.47463873890963$$
$$x_{3} = 1.47463873890963$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt[3]{2} + 4 \sqrt[3]{9 \sqrt{77} + 79} + 2^{\frac{2}{3}} \left(9 \sqrt{77} + 79\right)^{\frac{2}{3}}}}{6 \sqrt[6]{9 \sqrt{77} + 79}}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 \sqrt[3]{2} + 4 \sqrt[3]{9 \sqrt{77} + 79} + 2^{\frac{2}{3}} \left(9 \sqrt{77} + 79\right)^{\frac{2}{3}}}}{6 \sqrt[6]{9 \sqrt{77} + 79}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.47463873890963$$
$$x_{3} = 1.47463873890963$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} + \frac{12 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{6 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} + \frac{12 x^{3}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{6 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 3*x^2/(x^2 - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- Sí
$$x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = - x^{4} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- Sí
$$x^{4} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = - x^{4} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico