Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^(x^2)

Gráfico de la función y = x^(x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        / 2\
        \x /
f(x) = x
f(x)=xx2f{\left(x \right)} = x^{x^{2}} 
f = x^(x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002e100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx2=0x^{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(x^2).
0020^{0^{2}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx2(2xlog⁡(x)+x)=0x^{x^{2}} \left(2 x \log{\left(x \right)} + x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−12x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}
Signos de extremos en los puntos:
           -1  
         -e    
         ----- 
  -1/2     2   
(e   , e     )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−12x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e−12,∞)\left[e^{- \frac{1}{2}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−12]\left(-\infty, e^{- \frac{1}{2}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xx2(x2(2log⁡(x)+1)2+2log⁡(x)+3)=0x^{x^{2}} \left(x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \log{\left(x \right)} + 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.202165567394802x_{1} = 0.202165567394802

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0.202165567394802,∞)\left[0.202165567394802, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0.202165567394802]\left(-\infty, 0.202165567394802\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞xx2=0\lim_{x \to -\infty} x^{x^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞xx2=∞\lim_{x \to \infty} x^{x^{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xx2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{x^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(xx2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x^{2}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx2=(−x)x2x^{x^{2}} = \left(- x\right)^{x^{2}}
- No
xx2=−(−x)x2x^{x^{2}} = - \left(- x\right)^{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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