Sr Examen

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Gráfico de la función y = x*(x^2-5*x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         / 2          \
f(x) = x*\x  - 5*x + 1/
$$f{\left(x \right)} = x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 1\right)$$
f = x*(x^2 - 5*x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.20871215252208$$
$$x_{3} = 4.79128784747792$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(x^2 - 5*x + 1).
$$0 \left(\left(0^{2} - 0\right) + 1\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{2} + x \left(2 x - 5\right) - 5 x + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
                          /                   2           \ 
       ____  /      ____\ |       /      ____\        ____| 
 5   \/ 22   |5   \/ 22 | |  22   |5   \/ 22 |    5*\/ 22 | 
(- - ------, |- - ------|*|- -- + |- - ------|  + --------|)
 3     3     \3     3   / \  3    \3     3   /       3    / 

                          /                   2           \ 
       ____  /      ____\ |       /      ____\        ____| 
 5   \/ 22   |5   \/ 22 | |  22   |5   \/ 22 |    5*\/ 22 | 
(- + ------, |- + ------|*|- -- + |- + ------|  - --------|)
 3     3     \3     3   / \  3    \3     3   /       3    / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{22}}{3}, \frac{\sqrt{22}}{3} + \frac{5}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x - 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(x^2 - 5*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 1\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 1\right) = - x \left(x^{2} + 5 x + 1\right)$$
- No
$$x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 1\right) = x \left(x^{2} + 5 x + 1\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar