Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2x-3*x^(2/3)
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
-2*x^2+3*x+5
-
Expresiones idénticas
- sin(cuatro x)/4+sin(dos x)/2
- seno de (4x) dividir por 4 más seno de (2x) dividir por 2
- seno de (cuatro x) dividir por 4 más seno de (dos x) dividir por 2
- sin4x/4+sin2x/2
- sin(4x) dividir por 4+sin(2x) dividir por 2
-
Expresiones semejantes
- sin(4x)/4-sin(2x)/2
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin^2(t/2)
- sin(2)^(2)*x*cos(x)/2
- sin^3(4x+3)
- sin*(2*x-3)
- sin(x-pi/3)*(-1)+2
- Seno sin
- sin^2(t/2)
- sin(2)^(2)*x*cos(x)/2
- sin^3(4x+3)
- sin*(2*x-3)
- sin(x-pi/3)*(-1)+2
Gráfico de la función y = sin(4x)/4+sin(2x)/2
Solución
Ha introducido
[src]
sin(4*x) sin(2*x)
f(x) = -------- + --------
4 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$
f = sin(2*x)/2 + sin(4*x)/4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 92.6769015135963$$
$$x_{2} = -76.9690105563921$$
$$x_{3} = 10.9955332899392$$
$$x_{4} = 42.4114622637135$$
$$x_{5} = 83.2522440509532$$
$$x_{6} = -36.1282773149103$$
$$x_{7} = -59.6902604182061$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = 43.9822971502571$$
$$x_{10} = 15.707963267949$$
$$x_{11} = 80.1105845138607$$
$$x_{12} = -92.6769039529977$$
$$x_{13} = -70.6857580728809$$
$$x_{14} = -6.28318530717959$$
$$x_{15} = 78.5398163397448$$
$$x_{16} = -48.694612644595$$
$$x_{17} = -58.1194280780384$$
$$x_{18} = 73.8274757296551$$
$$x_{19} = -80.1105788980654$$
$$x_{20} = -98.9601412823446$$
$$x_{21} = 86.393763199972$$
$$x_{22} = 39.2699625294546$$
$$x_{23} = -7.85396947500705$$
$$x_{24} = 94.2477796076938$$
$$x_{25} = 76.9689583126707$$
$$x_{26} = 54.9778154903557$$
$$x_{27} = 64.4026127184382$$
$$x_{28} = -72.2566310325652$$
$$x_{29} = -73.8274110623715$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = -89.5354399060464$$
$$x_{32} = 58.119460355203$$
$$x_{33} = 7.85402405072815$$
$$x_{34} = -50.2654824574367$$
$$x_{35} = -81.6814089933346$$
$$x_{36} = 36.1283177718334$$
$$x_{37} = -45.5531392890525$$
$$x_{38} = 29.8451746577235$$
$$x_{39} = -4.71232350291727$$
$$x_{40} = 98.9601020312679$$
$$x_{41} = -87.9645943005142$$
$$x_{42} = 70.6857520123693$$
$$x_{43} = 6.28318530717959$$
$$x_{44} = -26.7034677530648$$
$$x_{45} = -29.8451153120949$$
$$x_{46} = -42.4114150971255$$
$$x_{47} = -95.8185603541765$$
$$x_{48} = -64.4025645467213$$
$$x_{49} = -37.6991118430775$$
$$x_{50} = -14.137126606106$$
$$x_{51} = -10.9956056230913$$
$$x_{52} = 95.8186261978189$$
$$x_{53} = -67.5442896108627$$
$$x_{54} = 65.9734457253857$$
$$x_{55} = 17.278819977127$$
$$x_{56} = -86.3937140390016$$
$$x_{57} = -28.2743338823081$$
$$x_{58} = -23.5619889406814$$
$$x_{59} = 72.2566310325652$$
$$x_{60} = -43.9822971502571$$
$$x_{61} = -70.6858973800224$$
$$x_{62} = 48.6946025534402$$
$$x_{63} = -54.9778777514084$$
$$x_{64} = 26.7034531382938$$
$$x_{65} = 20.4203118356713$$
$$x_{66} = 87.9645943005142$$
$$x_{67} = -51.8362626096794$$
$$x_{68} = 100.530964914873$$
$$x_{69} = 14.137174780924$$
$$x_{70} = 28.2743338823081$$
$$x_{71} = 51.8363252167958$$
$$x_{72} = -94.2477796076938$$
$$x_{73} = -32.9867427226641$$
$$x_{74} = -1.57083856577707$$
$$x_{75} = -51.8362993417633$$
$$x_{76} = -21.9911485751286$$
$$x_{77} = 56.5486677646163$$
$$x_{78} = -65.9734457253857$$
$$x_{79} = -15.707963267949$$
$$x_{80} = 4.71230376855396$$
$$x_{81} = 80.110603596332$$
$$x_{82} = -17.278845553998$$
$$x_{83} = 50.2654824574367$$
$$x_{84} = 32.986673744333$$
$$x_{85} = 37.6991118430775$$
$$x_{86} = 61.2611039630468$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 92.6769015135963$$
$$x_{2} = -76.9690105563921$$
$$x_{3} = 10.9955332899392$$
$$x_{4} = 42.4114622637135$$
$$x_{5} = 83.2522440509532$$
$$x_{6} = -36.1282773149103$$
$$x_{7} = -59.6902604182061$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = 43.9822971502571$$
$$x_{10} = 15.707963267949$$
$$x_{11} = 80.1105845138607$$
$$x_{12} = -92.6769039529977$$
$$x_{13} = -70.6857580728809$$
$$x_{14} = -6.28318530717959$$
$$x_{15} = 78.5398163397448$$
$$x_{16} = -48.694612644595$$
$$x_{17} = -58.1194280780384$$
$$x_{18} = 73.8274757296551$$
$$x_{19} = -80.1105788980654$$
$$x_{20} = -98.9601412823446$$
$$x_{21} = 86.393763199972$$
$$x_{22} = 39.2699625294546$$
$$x_{23} = -7.85396947500705$$
$$x_{24} = 94.2477796076938$$
$$x_{25} = 76.9689583126707$$
$$x_{26} = 54.9778154903557$$
$$x_{27} = 64.4026127184382$$
$$x_{28} = -72.2566310325652$$
$$x_{29} = -73.8274110623715$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = -89.5354399060464$$
$$x_{32} = 58.119460355203$$
$$x_{33} = 7.85402405072815$$
$$x_{34} = -50.2654824574367$$
$$x_{35} = -81.6814089933346$$
$$x_{36} = 36.1283177718334$$
$$x_{37} = -45.5531392890525$$
$$x_{38} = 29.8451746577235$$
$$x_{39} = -4.71232350291727$$
$$x_{40} = 98.9601020312679$$
$$x_{41} = -87.9645943005142$$
$$x_{42} = 70.6857520123693$$
$$x_{43} = 6.28318530717959$$
$$x_{44} = -26.7034677530648$$
$$x_{45} = -29.8451153120949$$
$$x_{46} = -42.4114150971255$$
$$x_{47} = -95.8185603541765$$
$$x_{48} = -64.4025645467213$$
$$x_{49} = -37.6991118430775$$
$$x_{50} = -14.137126606106$$
$$x_{51} = -10.9956056230913$$
$$x_{52} = 95.8186261978189$$
$$x_{53} = -67.5442896108627$$
$$x_{54} = 65.9734457253857$$
$$x_{55} = 17.278819977127$$
$$x_{56} = -86.3937140390016$$
$$x_{57} = -28.2743338823081$$
$$x_{58} = -23.5619889406814$$
$$x_{59} = 72.2566310325652$$
$$x_{60} = -43.9822971502571$$
$$x_{61} = -70.6858973800224$$
$$x_{62} = 48.6946025534402$$
$$x_{63} = -54.9778777514084$$
$$x_{64} = 26.7034531382938$$
$$x_{65} = 20.4203118356713$$
$$x_{66} = 87.9645943005142$$
$$x_{67} = -51.8362626096794$$
$$x_{68} = 100.530964914873$$
$$x_{69} = 14.137174780924$$
$$x_{70} = 28.2743338823081$$
$$x_{71} = 51.8363252167958$$
$$x_{72} = -94.2477796076938$$
$$x_{73} = -32.9867427226641$$
$$x_{74} = -1.57083856577707$$
$$x_{75} = -51.8362993417633$$
$$x_{76} = -21.9911485751286$$
$$x_{77} = 56.5486677646163$$
$$x_{78} = -65.9734457253857$$
$$x_{79} = -15.707963267949$$
$$x_{80} = 4.71230376855396$$
$$x_{81} = 80.110603596332$$
$$x_{82} = -17.278845553998$$
$$x_{83} = 50.2654824574367$$
$$x_{84} = 32.986673744333$$
$$x_{85} = 37.6991118430775$$
$$x_{86} = 61.2611039630468$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{6} = \frac{5 \pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{6} = \frac{5 \pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ -5*pi 3*\/ 3 (-----, -------) 6 8
-pi (----, 0) 2
___ -pi -3*\/ 3 (----, --------) 6 8
___ pi 3*\/ 3 (--, -------) 6 8
pi (--, 0) 2
___ 5*pi -3*\/ 3 (----, --------) 6 8
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(4 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{5} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(-1 - \sqrt{15} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{6} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(-1 + \sqrt{15} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 - \sqrt{15} i}}{2} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 + \sqrt{15} i}}{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(4 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{5} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(-1 - \sqrt{15} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{6} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(-1 + \sqrt{15} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 - \sqrt{15} i}}{2} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 + \sqrt{15} i}}{2} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\right) = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\right) = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\right) = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\right) = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(4*x)/4 + sin(2*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar