Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
(2*x-1)*e^(2*(1-x))
-
(2-x^2)/(9x^2-4)^1/2
-
Expresiones idénticas
- sin^ dos (t/ dos)
- seno de al cuadrado (t dividir por 2)
- seno de en el grado dos (t dividir por dos)
- sin2(t/2)
- sin2t/2
- sin²(t/2)
- sin en el grado 2(t/2)
- sin^2t/2
- sin^2(t dividir por 2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2)^(2)*x*cos(x)/2
- sin(x)^2+9cos(x)^2+6sin(x)cos(x)
- sin(10*x)*sin(3*x)/x^2
- sin(x)-0.2*x-0.5
- sin(x+1)/(x^2-4*x-5)
Gráfico de la función y = sin^2(t/2)
Solución
Ha introducido
[src]
2/t\
f(t) = sin |-|
\2/
$$f{\left(t \right)} = \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}$$
f = sin(t/2)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$t_{1} = 94.2477796093523$$
$$t_{2} = -81.6814084945807$$
$$t_{3} = -100.530964626003$$
$$t_{4} = -50.2654829667315$$
$$t_{5} = -37.6991121287155$$
$$t_{6} = 62.8318535568358$$
$$t_{7} = -25.1327415297174$$
$$t_{8} = 0$$
$$t_{9} = 18.8495564031971$$
$$t_{10} = 6.28318579821791$$
$$t_{11} = 43.9822966661001$$
$$t_{12} = -43.9822976246252$$
$$t_{13} = 75.3982232188727$$
$$t_{14} = 100.530965157364$$
$$t_{15} = -75.3982231720141$$
$$t_{16} = -12.5663710889626$$
$$t_{17} = 69.115038794053$$
$$t_{18} = -81.6814092565354$$
$$t_{19} = 81.6814091897036$$
$$t_{20} = -75.3982231045728$$
$$t_{21} = -56.5486682426592$$
$$t_{22} = -6.28318555849548$$
$$t_{23} = 87.9645938121814$$
$$t_{24} = -56.5486674685864$$
$$t_{25} = 43.9822974733639$$
$$t_{26} = 50.2654829439723$$
$$t_{27} = 56.5486680806249$$
$$t_{28} = -87.9645947692094$$
$$t_{29} = -43.9822967932182$$
$$t_{30} = 56.5486682809363$$
$$t_{31} = 50.2654821322586$$
$$t_{32} = 18.8495556275525$$
$$t_{33} = -6.2831851275477$$
$$t_{34} = -81.6814090382277$$
$$t_{35} = -87.9645943586158$$
$$t_{36} = 94.2477800892631$$
$$t_{37} = 56.5486668532011$$
$$t_{38} = -50.2654822863493$$
$$t_{39} = 25.1327416384075$$
$$t_{40} = -37.6991113479743$$
$$t_{41} = -31.4159260208155$$
$$t_{42} = 100.530964759815$$
$$t_{43} = -69.1150379045123$$
$$t_{44} = 81.6814085860518$$
$$t_{45} = 87.9645946044253$$
$$t_{46} = -6.2831858160515$$
$$t_{47} = -18.8495555173448$$
$$t_{48} = 6.28318528420851$$
$$t_{49} = 12.5663704426592$$
$$t_{50} = 12.5663711301703$$
$$t_{51} = -18.8495552124105$$
$$t_{52} = -94.2477797298079$$
$$t_{53} = -81.6814075578313$$
$$t_{54} = -31.4159267157965$$
$$t_{55} = 6.28318626747926$$
$$t_{56} = -43.9822971745392$$
$$t_{57} = 43.9822971694647$$
$$t_{58} = 37.6991115173992$$
$$t_{59} = 75.3982240031607$$
$$t_{60} = 81.6814084860076$$
$$t_{61} = -87.964593928489$$
$$t_{62} = 10851.0610239173$$
$$t_{63} = 62.8318527849002$$
$$t_{64} = 31.4159260648825$$
$$t_{65} = -94.2477801171671$$
$$t_{66} = -12.5663703112531$$
$$t_{67} = -94.2477794452815$$
$$t_{68} = -18.8495563230046$$
$$t_{69} = -75.3982238741744$$
$$t_{70} = 25.1327408328211$$
$$t_{71} = -81.6814107940317$$
$$t_{72} = -37.6991118772631$$
$$t_{73} = 69.1150379887504$$
$$t_{74} = -25.1327407505866$$
$$t_{75} = -31.4159260507536$$
$$t_{76} = 56.5486676011951$$
$$t_{77} = -69.1150386869085$$
$$t_{78} = 12.5663710110881$$
$$t_{79} = 37.6991120311338$$
$$t_{80} = -62.831852673202$$
$$t_{81} = 94.2477792651059$$
$$t_{82} = 50.2654824463392$$
$$t_{83} = 31.4159268459961$$
$$t_{84} = -50.265482641087$$
$$t_{85} = -62.8318534787248$$
$$t_{86} = 87.964594335905$$
$$t_{87} = 6.28318500093652$$
$$t_{88} = 37.6991113348642$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$t_{1} = 94.2477796093523$$
$$t_{2} = -81.6814084945807$$
$$t_{3} = -100.530964626003$$
$$t_{4} = -50.2654829667315$$
$$t_{5} = -37.6991121287155$$
$$t_{6} = 62.8318535568358$$
$$t_{7} = -25.1327415297174$$
$$t_{8} = 0$$
$$t_{9} = 18.8495564031971$$
$$t_{10} = 6.28318579821791$$
$$t_{11} = 43.9822966661001$$
$$t_{12} = -43.9822976246252$$
$$t_{13} = 75.3982232188727$$
$$t_{14} = 100.530965157364$$
$$t_{15} = -75.3982231720141$$
$$t_{16} = -12.5663710889626$$
$$t_{17} = 69.115038794053$$
$$t_{18} = -81.6814092565354$$
$$t_{19} = 81.6814091897036$$
$$t_{20} = -75.3982231045728$$
$$t_{21} = -56.5486682426592$$
$$t_{22} = -6.28318555849548$$
$$t_{23} = 87.9645938121814$$
$$t_{24} = -56.5486674685864$$
$$t_{25} = 43.9822974733639$$
$$t_{26} = 50.2654829439723$$
$$t_{27} = 56.5486680806249$$
$$t_{28} = -87.9645947692094$$
$$t_{29} = -43.9822967932182$$
$$t_{30} = 56.5486682809363$$
$$t_{31} = 50.2654821322586$$
$$t_{32} = 18.8495556275525$$
$$t_{33} = -6.2831851275477$$
$$t_{34} = -81.6814090382277$$
$$t_{35} = -87.9645943586158$$
$$t_{36} = 94.2477800892631$$
$$t_{37} = 56.5486668532011$$
$$t_{38} = -50.2654822863493$$
$$t_{39} = 25.1327416384075$$
$$t_{40} = -37.6991113479743$$
$$t_{41} = -31.4159260208155$$
$$t_{42} = 100.530964759815$$
$$t_{43} = -69.1150379045123$$
$$t_{44} = 81.6814085860518$$
$$t_{45} = 87.9645946044253$$
$$t_{46} = -6.2831858160515$$
$$t_{47} = -18.8495555173448$$
$$t_{48} = 6.28318528420851$$
$$t_{49} = 12.5663704426592$$
$$t_{50} = 12.5663711301703$$
$$t_{51} = -18.8495552124105$$
$$t_{52} = -94.2477797298079$$
$$t_{53} = -81.6814075578313$$
$$t_{54} = -31.4159267157965$$
$$t_{55} = 6.28318626747926$$
$$t_{56} = -43.9822971745392$$
$$t_{57} = 43.9822971694647$$
$$t_{58} = 37.6991115173992$$
$$t_{59} = 75.3982240031607$$
$$t_{60} = 81.6814084860076$$
$$t_{61} = -87.964593928489$$
$$t_{62} = 10851.0610239173$$
$$t_{63} = 62.8318527849002$$
$$t_{64} = 31.4159260648825$$
$$t_{65} = -94.2477801171671$$
$$t_{66} = -12.5663703112531$$
$$t_{67} = -94.2477794452815$$
$$t_{68} = -18.8495563230046$$
$$t_{69} = -75.3982238741744$$
$$t_{70} = 25.1327408328211$$
$$t_{71} = -81.6814107940317$$
$$t_{72} = -37.6991118772631$$
$$t_{73} = 69.1150379887504$$
$$t_{74} = -25.1327407505866$$
$$t_{75} = -31.4159260507536$$
$$t_{76} = 56.5486676011951$$
$$t_{77} = -69.1150386869085$$
$$t_{78} = 12.5663710110881$$
$$t_{79} = 37.6991120311338$$
$$t_{80} = -62.831852673202$$
$$t_{81} = 94.2477792651059$$
$$t_{82} = 50.2654824463392$$
$$t_{83} = 31.4159268459961$$
$$t_{84} = -50.265482641087$$
$$t_{85} = -62.8318534787248$$
$$t_{86} = 87.964594335905$$
$$t_{87} = 6.28318500093652$$
$$t_{88} = 37.6991113348642$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - \pi$$
$$t_{3} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = - \pi$$
$$t_{1} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(\frac{t}{2} \right)} \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - \pi$$
$$t_{3} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
(-pi, 1)
(pi, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = - \pi$$
$$t_{1} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty} \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty} \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty} \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty} \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(t/2)^2, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}$$
- No
$$\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}$$
- No
$$\sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{t}{2} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar