Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x^2+4)/x
-
x^2+1/x
-
x*e^-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
- Integral de d{x}:
- (x-1)/(x^2+4)
-
Expresiones idénticas
- (x- uno)/(x^ dos + cuatro)
- (x menos 1) dividir por (x al cuadrado más 4)
- (x menos uno) dividir por (x en el grado dos más cuatro)
- (x-1)/(x2+4)
- x-1/x2+4
- (x-1)/(x²+4)
- (x-1)/(x en el grado 2+4)
- x-1/x^2+4
- (x-1) dividir por (x^2+4)
-
Expresiones semejantes
- (x-1)/(x^2-4)
- (x+1)/(x^2+4)
Gráfico de la función y = (x-1)/(x^2+4)
Solución
Ha introducido
[src]
x - 1
f(x) = ------
2
x + 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 1}{x^{2} + 4}$$
f = (x - 1)/(x^2 + 4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 1}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 1}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{5}\right] \cup \left[1 + \sqrt{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ -\/ 5
(1 - \/ 5, ----------------)
2
/ ___\
4 + \1 - \/ 5 / ___
___ \/ 5
(1 + \/ 5, ----------------)
2
/ ___\
4 + \1 + \/ 5 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{5}\right] \cup \left[1 + \sqrt{5}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{5}{\sqrt[3]{5 + 10 i}} + \sqrt[3]{5 + 10 i}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + 2 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + 2 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{5}{\sqrt[3]{5 + 10 i}} + \sqrt[3]{5 + 10 i}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + 2 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + 2 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1)/(x^2 + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 1}{x^{2} + 4} = \frac{- x - 1}{x^{2} + 4}$$
- No
$$\frac{x - 1}{x^{2} + 4} = - \frac{- x - 1}{x^{2} + 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 1}{x^{2} + 4} = \frac{- x - 1}{x^{2} + 4}$$
- No
$$\frac{x - 1}{x^{2} + 4} = - \frac{- x - 1}{x^{2} + 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico