Sr Examen

Otras calculadoras

(x-1)/(x^2+4)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=cosx y=cosx
  • y=3x^2-x^3 y=3x^2-x^3
  • 2*x^3-3*x 2*x^3-3*x
  • 3-x^2 3-x^2
  • Integral de d{x}:
  • (x-1)/(x^2+4)

  • Expresiones idénticas

  • (x- uno)/(x^ dos + cuatro)
  • (x menos 1) dividir por (x al cuadrado más 4)
  • (x menos uno) dividir por (x en el grado dos más cuatro)
  • (x-1)/(x2+4)
  • x-1/x2+4
  • (x-1)/(x²+4)
  • (x-1)/(x en el grado 2+4)
  • x-1/x^2+4
  • (x-1) dividir por (x^2+4)

  • Expresiones semejantes

  • (x+1)/(x^2+4)
  • (x-1)/(x^2-4)
Trazado el gráfico de la función/ (x-1)/(x^2+4)

Gráfico de la función y = (x-1)/(x^2+4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x - 1 
f(x) = ------
        2    
       x  + 4
f(x)=x−1x2+4f{\left(x \right)} = \frac{x - 1}{x^{2} + 4} 
f = (x - 1)/(x^2 + 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−1x2+4=0\frac{x - 1}{x^{2} + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 1)/(x^2 + 4).
−102+4- \frac{1}{0^{2} + 4}
Resultado:
f(0)=−14f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{4}
Punto:
(0, -1/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x−1)(x2+4)2+1x2+4=0- \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−5x_{1} = 1 - \sqrt{5}
x2=1+5x_{2} = 1 + \sqrt{5}
Signos de extremos en los puntos:
                   ___       
       ___      -\/ 5        
(1 - \/ 5, ----------------)
                           2 
                /      ___\  
            4 + \1 - \/ 5 /  

                   ___       
       ___       \/ 5        
(1 + \/ 5, ----------------)
                           2 
                /      ___\  
            4 + \1 + \/ 5 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1−5x_{1} = 1 - \sqrt{5}
Puntos máximos de la función:
x1=1+5x_{1} = 1 + \sqrt{5}
Decrece en los intervalos
[1−5,1+5]\left[1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,1−5]∪[1+5,∞)\left(-\infty, 1 - \sqrt{5}\right] \cup \left[1 + \sqrt{5}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x+(x−1)(4x2x2+4−1))(x2+4)2=0\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1+55+10i3+5+10i3x_{1} = 1 + \frac{5}{\sqrt[3]{5 + 10 i}} + \sqrt[3]{5 + 10 i}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1+25cos⁡(atan⁡(2)3),∞)\left[1 + 2 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1+25cos⁡(atan⁡(2)3)]\left(-\infty, 1 + 2 \sqrt{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{3} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x2+4)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} + 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x−1x2+4)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} + 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1)/(x^2 + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x(x2+4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−1x(x2+4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−1x2+4=−x−1x2+4\frac{x - 1}{x^{2} + 4} = \frac{- x - 1}{x^{2} + 4}
- No
x−1x2+4=−−x−1x2+4\frac{x - 1}{x^{2} + 4} = - \frac{- x - 1}{x^{2} + 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x-1)/(x^2+4)
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