Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
-
Expresiones idénticas
- -x^ tres +15x^ dos -72x+ ciento nueve
- menos x al cubo más 15x al cuadrado menos 72x más 109
- menos x en el grado tres más 15x en el grado dos menos 72x más ciento nueve
- -x3+15x2-72x+109
- -x³+15x²-72x+109
- -x en el grado 3+15x en el grado 2-72x+109
-
Expresiones semejantes
- x^3+15x^2-72x+109
- -x^3+15x^2-72x-109
- -x^3-15x^2-72x+109
- -x^3+15x^2+72x+109
Gráfico de la función y = -x^3+15x^2-72x+109
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 f(x) = - x + 15*x - 72*x + 109
$$f{\left(x \right)} = \left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109$$
f = -72*x - x^3 + 15*x^2 + 109
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 5 - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 6.53208888623796$$
$$x_{2} = 5.34729635533386$$
$$x_{3} = 3.12061475842818$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 5 - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{27}{2} + \frac{27 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 6.53208888623796$$
$$x_{2} = 5.34729635533386$$
$$x_{3} = 3.12061475842818$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 3 x^{2} + 30 x - 72 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 6$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 6$$
Decrece en los intervalos
$$\left[4, 6\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right] \cup \left[6, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 3 x^{2} + 30 x - 72 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 6$$
Signos de extremos en los puntos:
(4, -3)
(6, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 6$$
Decrece en los intervalos
$$\left[4, 6\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right] \cup \left[6, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(5 - x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 5$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 5\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[5, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(5 - x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 5$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 5\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[5, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3 + 15*x^2 - 72*x + 109, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109 = x^{3} + 15 x^{2} + 72 x + 109$$
- No
$$\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109 = - x^{3} - 15 x^{2} - 72 x - 109$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109 = x^{3} + 15 x^{2} + 72 x + 109$$
- No
$$\left(- 72 x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 109 = - x^{3} - 15 x^{2} - 72 x - 109$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico