Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (e^sqrt*x)/x-8

Gráfico de la función y = (e^sqrt*x)/x-8

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ___    
        \/ x     
       E         
f(x) = ------ - 8
         x
f(x)=exx−8f{\left(x \right)} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{x} - 8 
f = E^(sqrt(x))/x - 8
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exx−8=0\frac{e^{\sqrt{x}}}{x} - 8 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=30.0589100736218x_{1} = 30.0589100736218
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(sqrt(x))/x - 8.
−8+e00-8 + \frac{e^{\sqrt{0}}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−exx2+ex2x32=0- \frac{e^{\sqrt{x}}}{x^{2}} + \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4
Signos de extremos en los puntos:
          2 
         e  
(4, -8 + --)
         4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(14x2+2x3−54x52)ex=0\left(\frac{1}{4 x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} - \frac{5}{4 x^{\frac{5}{2}}}\right) e^{\sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(exx−8)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\sqrt{x}}}{x} - 8\right)
lim⁡x→∞(exx−8)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\sqrt{x}}}{x} - 8\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(sqrt(x))/x - 8, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(exx−8x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{e^{\sqrt{x}}}{x} - 8}{x}\right)
lim⁡x→∞(exx−8x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{e^{\sqrt{x}}}{x} - 8}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exx−8=−8−e−xx\frac{e^{\sqrt{x}}}{x} - 8 = -8 - \frac{e^{\sqrt{- x}}}{x}
- No
exx−8=8+e−xx\frac{e^{\sqrt{x}}}{x} - 8 = 8 + \frac{e^{\sqrt{- x}}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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