Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x-1-ln(x)/x

Gráfico de la función y = x-1-ln(x)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               log(x)
f(x) = x - 1 - ------
                 x
f(x)=(x−1)−log⁡(x)xf{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} 
f = x - 1 - log(x)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1)−log⁡(x)x=0\left(x - 1\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.00000008329199x_{1} = 1.00000008329199
x2=1.00000065036675x_{2} = 1.00000065036675
x3=1.00000008547245x_{3} = 1.00000008547245
x4=1.000000711697x_{4} = 1.000000711697
x5=0.999999895489953x_{5} = 0.999999895489953
x6=0.999999868192182x_{6} = 0.999999868192182
x7=1.00000014025503x_{7} = 1.00000014025503
x8=0.999999876394517x_{8} = 0.999999876394517
x9=0.999999892641617x_{9} = 0.999999892641617
x10=0.999999866847997x_{10} = 0.999999866847997
x11=0.999999875662866x_{11} = 0.999999875662866
x12=1.00000069476539x_{12} = 1.00000069476539
x13=0.999999882863149x_{13} = 0.999999882863149
x14=1.00000025083693x_{14} = 1.00000025083693
x15=1.00000011317214x_{15} = 1.00000011317214
x16=0.999999874698431x_{16} = 0.999999874698431
x17=1.00000013688159x_{17} = 1.00000013688159
x18=0.999999891076942x_{18} = 0.999999891076942
x19=0.999999892579114x_{19} = 0.999999892579114
x20=0.999999871358401x_{20} = 0.999999871358401
x21=0.999999923057501x_{21} = 0.999999923057501
x22=1.00000008661174x_{22} = 1.00000008661174
x23=1.00000012778945x_{23} = 1.00000012778945
x24=1.0000000136345x_{24} = 1.0000000136345
x25=1.00000014382621x_{25} = 1.00000014382621
x26=1.00000009424262x_{26} = 1.00000009424262
x27=1.00000008899648x_{27} = 1.00000008899648
x28=1.00000010358587x_{28} = 1.00000010358587
x29=1.00000038382559x_{29} = 1.00000038382559
x30=0.9999998863907x_{30} = 0.9999998863907
x31=1.00000009024545x_{31} = 1.00000009024545
x32=0.99999986420408x_{32} = 0.99999986420408
x33=1.00000010024489x_{33} = 1.00000010024489
x34=1.0000001763186x_{34} = 1.0000001763186
x35=1.00000008436636x_{35} = 1.00000008436636
x36=1.00000012505702x_{36} = 1.00000012505702
x37=1.00000015163989x_{37} = 1.00000015163989
x38=0.99999997542134x_{38} = 0.99999997542134
x39=0.999999945804162x_{39} = 0.999999945804162
x40=0.999999879786295x_{40} = 0.999999879786295
x41=0.999999862193662x_{41} = 0.999999862193662
x42=1.00000018901723x_{42} = 1.00000018901723
x43=1.00000013066287x_{43} = 1.00000013066287
x44=1.00000022145118x_{44} = 1.00000022145118
x45=0.999999869743854x_{45} = 0.999999869743854
x46=1.00000010188429x_{46} = 1.00000010188429
x47=1.00000021235475x_{47} = 1.00000021235475
x48=1.00000057750572x_{48} = 1.00000057750572
x49=0.999999896898342x_{49} = 0.999999896898342
x50=1.00000010719113x_{50} = 1.00000010719113
x51=0.999999881467175x_{51} = 0.999999881467175
x52=1.00000009566592x_{52} = 1.00000009566592
x53=0.999999865386221x_{53} = 0.999999865386221
x54=1.00000011109535x_{54} = 1.00000011109535
x55=1.00000028592075x_{55} = 1.00000028592075
x56=1.00000020393183x_{56} = 1.00000020393183
x57=0.999999887981699x_{57} = 0.999999887981699
x58=0.999999883130723x_{58} = 0.999999883130723
x59=1.00000015592805x_{59} = 1.00000015592805
x60=1.00000012342214x_{60} = 1.00000012342214
x61=1.00000012245496x_{61} = 1.00000012245496
x62=0.999999870471843x_{62} = 0.999999870471843
x63=1.00000013368916x_{63} = 1.00000013368916
x64=1.0000001654058x_{64} = 1.0000001654058
x65=1.00000014761404x_{65} = 1.00000014761404
x66=1.00000009153471x_{66} = 1.00000009153471
x67=0.999999863003551x_{67} = 0.999999863003551
x68=0.99999986323292x_{68} = 0.99999986323292
x69=1.00000006235479x_{69} = 1.00000006235479
x70=0.999999862536128x_{70} = 0.999999862536128
x71=1.00000048464644x_{71} = 1.00000048464644
x72=1.00000024097706x_{72} = 1.00000024097706
x73=1.0000001980581x_{73} = 1.0000001980581
x74=1.00000017066293x_{74} = 1.00000017066293
x75=0.999999873015374x_{75} = 0.999999873015374
x76=1.00000078196751x_{76} = 1.00000078196751
x77=0.9999998940502x_{77} = 0.9999998940502
x78=0.999999862306678x_{78} = 0.999999862306678
x79=1.00000024953019x_{79} = 1.00000024953019
x80=1.00000009866416x_{80} = 1.00000009866416
x81=1.00000018241934x_{81} = 1.00000018241934
x82=0.999999878093228x_{82} = 0.999999878093228
x83=1.00000020615424x_{83} = 1.00000020615424
x84=1.00000011760454x_{84} = 1.00000011760454
x85=1.00000016050618x_{85} = 1.00000016050618
x86=1.00000019616887x_{86} = 1.00000019616887
x87=1.00000010910347x_{87} = 1.00000010910347
x88=1.00000010535343x_{88} = 1.00000010535343
x89=1.00000008778585x_{89} = 1.00000008778585
x90=1.00000011533972x_{90} = 1.00000011533972
x91=1.00000009713884x_{91} = 1.00000009713884
x92=0.999999866728964x_{92} = 0.999999866728964
x93=1.00000023112859x_{93} = 1.00000023112859
x94=0.999999889544192x_{94} = 0.999999889544192
x95=1.00000009286636x_{95} = 1.00000009286636
x96=0.999999884772927x_{96} = 0.999999884772927
x97=1.00000011997368x_{97} = 1.00000011997368
x98=0.999999905728848x_{98} = 0.999999905728848
x99=0.999999864447731x_{99} = 0.999999864447731
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - 1 - log(x)/x.
−log⁡(0)0−1- \frac{\log{\left(0 \right)}}{0} - 1
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1+log⁡(x)x2−1x2=01 + \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3−2log⁡(x)x3=0\frac{3 - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e32x_{1} = e^{\frac{3}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(3−2log⁡(x)x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(3−2log⁡(x)x3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e32]\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]
Convexa en los intervalos
[e32,∞)\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)−log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)−log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - 1 - log(x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)−log⁡(x)xx)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x−1)−log⁡(x)xx)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1)−log⁡(x)x=−x−1+log⁡(−x)x\left(x - 1\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = - x - 1 + \frac{\log{\left(- x \right)}}{x}
- No
(x−1)−log⁡(x)x=x+1−log⁡(−x)x\left(x - 1\right) - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = x + 1 - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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