Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2/3)*arccos(x+1.5)

Gráfico de la función y = (2/3)*arccos(x+1.5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       2*acos(x + 3/2)
f(x) = ---------------
              3
f(x)=2acos⁡(x+32)3f{\left(x \right)} = \frac{2 \operatorname{acos}{\left(x + \frac{3}{2} \right)}}{3} 
f = 2*acos(x + 3/2)/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2acos⁡(x+32)3=0\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x + \frac{3}{2} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*acos(x + 3/2)/3.
2acos⁡(32)3\frac{2 \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3}
Resultado:
f(0)=2acos⁡(32)3f{\left(0 \right)} = \frac{2 \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3}
Punto:
(0, 2*acos(3/2)/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−231−(x+32)2=0- \frac{2}{3 \sqrt{1 - \left(x + \frac{3}{2}\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(x+32)3(1−(2x+3)24)32=0- \frac{2 \left(x + \frac{3}{2}\right)}{3 \left(1 - \frac{\left(2 x + 3\right)^{2}}{4}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−32]\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−32,∞)\left[- \frac{3}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2acos⁡(x+32)3)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x + \frac{3}{2} \right)}}{3}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2acos⁡(x+32)3)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x + \frac{3}{2} \right)}}{3}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*acos(x + 3/2)/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2acos⁡(x+32)3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x + \frac{3}{2} \right)}}{3 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2acos⁡(x+32)3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x + \frac{3}{2} \right)}}{3 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2acos⁡(x+32)3=2acos⁡(32−x)3\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x + \frac{3}{2} \right)}}{3} = \frac{2 \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} - x \right)}}{3}
- No
2acos⁡(x+32)3=−2acos⁡(32−x)3\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x + \frac{3}{2} \right)}}{3} = - \frac{2 \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} - x \right)}}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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