Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos(2^x-2^-x)

Gráfico de la función y = arccos(2^x-2^-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / x    -x\
f(x) = acos\2  - 2  /
f(x)=acos⁡(2x−2−x)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(2^{x} - 2^{- x} \right)} 
f = acos(2^x - 2^(-x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(2x−2−x)=0\operatorname{acos}{\left(2^{x} - 2^{- x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+log⁡(1+5)log⁡(2)x_{1} = -1 + \frac{\log{\left(1 + \sqrt{5} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
Solución numérica
x1=0.694241913630617x_{1} = 0.694241913630617
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(2^x - 2^(-x)).
acos⁡(−2−0+20)\operatorname{acos}{\left(- 2^{- 0} + 2^{0} \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xlog⁡(2)+2−xlog⁡(2)1−(2x−2−x)2=0- \frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 2^{- x} \log{\left(2 \right)}}{\sqrt{1 - \left(2^{x} - 2^{- x}\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+(2x+2−x)21−(2x−2−x)2)(2x−2−x)log⁡(2)21−(2x−2−x)2=0- \frac{\left(1 + \frac{\left(2^{x} + 2^{- x}\right)^{2}}{1 - \left(2^{x} - 2^{- x}\right)^{2}}\right) \left(2^{x} - 2^{- x}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{\sqrt{1 - \left(2^{x} - 2^{- x}\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(2x−2−x)=−∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(2^{x} - 2^{- x} \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞acos⁡(2x−2−x)=∞i\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(2^{x} - 2^{- x} \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(2^x - 2^(-x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(2x−2−x)x)=ilog⁡(2)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2^{x} - 2^{- x} \right)}}{x}\right) = i \log{\left(2 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=ixlog⁡(2)y = i x \log{\left(2 \right)}
lim⁡x→∞(acos⁡(2x−2−x)x)=ilog⁡(2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2^{x} - 2^{- x} \right)}}{x}\right) = i \log{\left(2 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixlog⁡(2)y = i x \log{\left(2 \right)}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(2x−2−x)=acos⁡(−2x+2−x)\operatorname{acos}{\left(2^{x} - 2^{- x} \right)} = \operatorname{acos}{\left(- 2^{x} + 2^{- x} \right)}
- No
acos⁡(2x−2−x)=−acos⁡(−2x+2−x)\operatorname{acos}{\left(2^{x} - 2^{- x} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- 2^{x} + 2^{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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