Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos(2|x|)

Gráfico de la función y = arccos(2|x|)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = acos(2*|x|)
f(x)=acos⁡(2∣x∣)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)} 
f = acos(2*|x|)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(2∣x∣)=0\operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=−0.5x_{1} = -0.5
x2=0.5x_{2} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(2*|x|).
acos⁡(2∣0∣)\operatorname{acos}{\left(2 \left|{0}\right| \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sign⁡(x)1−4x2=0- \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
      pi 
(0, --)
      2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(2xsign⁡(x)1−4x2+δ(x))1−4x2=0- \frac{4 \left(\frac{2 x \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{1 - 4 x^{2}} + \delta\left(x\right)\right)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(2∣x∣)=∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞acos⁡(2∣x∣)=∞i\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(2*|x|), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(2∣x∣)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(2∣x∣)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(2∣x∣)=acos⁡(2∣x∣)\operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)} = \operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)}
- Sí
acos⁡(2∣x∣)=−acos⁡(2∣x∣)\operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)} = - \operatorname{acos}{\left(2 \left|{x}\right| \right)}
- No
es decir, función
es
par
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