Sr Examen

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(x+1)e^x
Trazado el gráfico de la función/ (x+1)e^x

Gráfico de la función y = (x+1)e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                x
f(x) = (x + 1)*E
f(x)=ex(x+1)f{\left(x \right)} = e^{x} \left(x + 1\right) 
f = E^x*(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250000250000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(x+1)=0e^{x} \left(x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−49.4711655449634x_{1} = -49.4711655449634
x2=−57.3581866464466x_{2} = -57.3581866464466
x3=−99.1176822742156x_{3} = -99.1176822742156
x4=−95.1297833837852x_{4} = -95.1297833837852
x5=−35.8971886855811x_{5} = -35.8971886855811
x6=−81.1835505142898x_{6} = -81.1835505142898
x7=−51.4381699084522x_{7} = -51.4381699084522
x8=−61.316486753355x_{8} = -61.316486753355
x9=−87.157973273941x_{9} = -87.157973273941
x10=−32.1756177264239x_{10} = -32.1756177264239
x11=−67.2659399232894x_{11} = -67.2659399232894
x12=−34.0182140925185x_{12} = -34.0182140925185
x13=−69.2515753571383x_{13} = -69.2515753571383
x14=−55.3821676071309x_{14} = -55.3821676071309
x15=−39.7215440170094x_{15} = -39.7215440170094
x16=−77.2033239479075x_{16} = -77.2033239479075
x17=−101.112049515773x_{17} = -101.112049515773
x18=−37.8006485741225x_{18} = -37.8006485741225
x19=−115.078868899778x_{19} = -115.078868899778
x20=−119.071013554438x_{20} = -119.071013554438
x21=−53.4086841814429x_{21} = -53.4086841814429
x22=−89.1503604017549x_{22} = -89.1503604017549
x23=−75.2141900449367x_{23} = -75.2141900449367
x24=−113.08303446753x_{24} = -113.08303446753
x25=−65.2814467335924x_{25} = -65.2814467335924
x26=−83.1745282419576x_{26} = -83.1745282419576
x27=−1x_{27} = -1
x28=−43.5991101904548x_{28} = -43.5991101904548
x29=−111.087371742331x_{29} = -111.087371742331
x30=−109.091891597578x_{30} = -109.091891597578
x31=−59.336389337426x_{31} = -59.336389337426
x32=−41.6553752443623x_{32} = -41.6553752443623
x33=−79.1931311289629x_{33} = -79.1931311289629
x34=−47.5083552648416x_{34} = -47.5083552648416
x35=−97.1235868161767x_{35} = -97.1235868161767
x36=−73.2257989645248x_{36} = -73.2257989645248
x37=−63.2982393476586x_{37} = -63.2982393476586
x38=−91.1431441899768x_{38} = -91.1431441899768
x39=−85.1660166222937x_{39} = -85.1660166222937
x40=−45.550618994199x_{40} = -45.550618994199
x41=−107.096605847552x_{41} = -107.096605847552
x42=−103.106670133692x_{42} = -103.106670133692
x43=−105.101527351786x_{43} = -105.101527351786
x44=−117.074865014488x_{44} = -117.074865014488
x45=−93.1362942896831x_{45} = -93.1362942896831
x46=−71.2382302560517x_{46} = -71.2382302560517
x47=−121.06730595755x_{47} = -121.06730595755
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 1)*E^x.
e0e^{0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+(x+1)ex=0e^{x} + \left(x + 1\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Signos de extremos en los puntos:
       -2 
(-2, -e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+3)ex=0\left(x + 3\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3,∞)\left[-3, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3]\left(-\infty, -3\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(x + 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(x + 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+1)exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(x+1)=(1−x)e−xe^{x} \left(x + 1\right) = \left(1 - x\right) e^{- x}
- No
ex(x+1)=−(1−x)e−xe^{x} \left(x + 1\right) = - \left(1 - x\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x+1)e^x
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