Sr Examen

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(x-1)e^x
Trazado el gráfico de la función/ (x-1)e^x

Gráfico de la función y = (x-1)e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                x
f(x) = (x - 1)*E
f(x)=ex(x−1)f{\left(x \right)} = e^{x} \left(x - 1\right) 
f = E^x*(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010400000-200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(x−1)=0e^{x} \left(x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=−39.6553752443623x_{1} = -39.6553752443623
x2=−61.2982393476586x_{2} = -61.2982393476586
x3=−51.4086841814429x_{3} = -51.4086841814429
x4=−107.091891597578x_{4} = -107.091891597578
x5=−101.106670133692x_{5} = -101.106670133692
x6=−77.1931311289629x_{6} = -77.1931311289629
x7=1x_{7} = 1
x8=−79.1835505142898x_{8} = -79.1835505142898
x9=−97.1176822742156x_{9} = -97.1176822742156
x10=−111.08303446753x_{10} = -111.08303446753
x11=−93.1297833837852x_{11} = -93.1297833837852
x12=−119.06730595755x_{12} = -119.06730595755
x13=−105.096605847552x_{13} = -105.096605847552
x14=−59.316486753355x_{14} = -59.316486753355
x15=−57.336389337426x_{15} = -57.336389337426
x16=−113.078868899778x_{16} = -113.078868899778
x17=−85.157973273941x_{17} = -85.157973273941
x18=−73.2141900449367x_{18} = -73.2141900449367
x19=−49.4381699084522x_{19} = -49.4381699084522
x20=−55.3581866464466x_{20} = -55.3581866464466
x21=−95.1235868161767x_{21} = -95.1235868161767
x22=−43.550618994199x_{22} = -43.550618994199
x23=−67.2515753571383x_{23} = -67.2515753571383
x24=−47.4711655449634x_{24} = -47.4711655449634
x25=−81.1745282419576x_{25} = -81.1745282419576
x26=−45.5083552648416x_{26} = -45.5083552648416
x27=−71.2257989645248x_{27} = -71.2257989645248
x28=−99.1120495157731x_{28} = -99.1120495157731
x29=−103.101527351786x_{29} = -103.101527351786
x30=−63.2814467335924x_{30} = -63.2814467335924
x31=−41.5991101904548x_{31} = -41.5991101904548
x32=−117.071013554438x_{32} = -117.071013554438
x33=−89.1431441899768x_{33} = -89.1431441899768
x34=−75.2033239479075x_{34} = -75.2033239479075
x35=−87.1503604017549x_{35} = -87.1503604017549
x36=−53.3821676071309x_{36} = -53.3821676071309
x37=−32.0182140925185x_{37} = -32.0182140925185
x38=−115.074865014488x_{38} = -115.074865014488
x39=−33.8971886855811x_{39} = -33.8971886855811
x40=−35.8006485741225x_{40} = -35.8006485741225
x41=−37.7215440170094x_{41} = -37.7215440170094
x42=−121.063734292694x_{42} = -121.063734292694
x43=−109.087371742331x_{43} = -109.087371742331
x44=−65.2659399232894x_{44} = -65.2659399232894
x45=−83.1660166222937x_{45} = -83.1660166222937
x46=−69.2382302560517x_{46} = -69.2382302560517
x47=−91.1362942896831x_{47} = -91.1362942896831
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 1)*E^x.
−e0- e^{0}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+(x−1)ex=0e^{x} + \left(x - 1\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+1)ex=0\left(x + 1\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(x - 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(x−1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(x - 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1)*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x−1)exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(x−1)=(−x−1)e−xe^{x} \left(x - 1\right) = \left(- x - 1\right) e^{- x}
- No
ex(x−1)=−(−x−1)e−xe^{x} \left(x - 1\right) = - \left(- x - 1\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x-1)e^x
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