Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{- x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{25}{12} + \frac{1}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}$$
Signos de extremos en los puntos:
___________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________ / 2
_________________ / _________________ / / _________________ \ _________________
/ ______ / / ______ / | / ______ | / ______
25 / 1943 \/ 2913 1 / 1 / 1943 \/ 2913 1 / 40 | 25 / 1943 \/ 2913 1 | / 1943 \/ 2913 1
(- -- + 3 / ---- + -------- + --------------------------, / - -- + 3 / ---- + -------- + -------------------------- + / -- - |- -- + 3 / ---- + -------- + --------------------------| - 4*3 / ---- + -------- - ------------------------- )
12 \/ 1728 48 _________________ / 12 \/ 1728 48 _________________ / 3 | 12 \/ 1728 48 _________________| \/ 1728 48 _________________
/ ______ / / ______ / | / ______ | / ______
/ 1943 \/ 2913 / / 1943 \/ 2913 / | / 1943 \/ 2913 | / 1943 \/ 2913
144*3 / ---- + -------- / 144*3 / ---- + -------- / | 144*3 / ---- + -------- | 36*3 / ---- + --------
\/ 1728 48 \/ \/ 1728 48 \/ \ \/ 1728 48 / \/ 1728 48
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{25}{12} + \frac{1}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{25}{12} + \frac{1}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{25}{12} + \frac{1}{144 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2913}}{48} + \frac{1943}{1728}}, \infty\right)$$