Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2sinx/4

Gráfico de la función y = 2sinx/4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       2*sin(x)
f(x) = --------
          4
f(x)=2sin⁡(x)4f{\left(x \right)} = \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{4} 
f = (2*sin(x))/4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x)4=0\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=31.4159265358979x_{1} = 31.4159265358979
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
x3=−267.035375555132x_{3} = -267.035375555132
x4=−47.1238898038469x_{4} = -47.1238898038469
x5=−12.5663706143592x_{5} = -12.5663706143592
x6=−34.5575191894877x_{6} = -34.5575191894877
x7=−69.1150383789755x_{7} = -69.1150383789755
x8=−2642.07942166902x_{8} = -2642.07942166902
x9=−65.9734457253857x_{9} = -65.9734457253857
x10=75.398223686155x_{10} = 75.398223686155
x11=−56.5486677646163x_{11} = -56.5486677646163
x12=−50.2654824574367x_{12} = -50.2654824574367
x13=59.6902604182061x_{13} = 59.6902604182061
x14=72.2566310325652x_{14} = 72.2566310325652
x15=91.106186954104x_{15} = 91.106186954104
x16=−91.106186954104x_{16} = -91.106186954104
x17=−62.8318530717959x_{17} = -62.8318530717959
x18=−6.28318530717959x_{18} = -6.28318530717959
x19=−232.477856365645x_{19} = -232.477856365645
x20=62.8318530717959x_{20} = 62.8318530717959
x21=6.28318530717959x_{21} = 6.28318530717959
x22=−25.1327412287183x_{22} = -25.1327412287183
x23=94.2477796076938x_{23} = 94.2477796076938
x24=−9.42477796076938x_{24} = -9.42477796076938
x25=−37.6991118430775x_{25} = -37.6991118430775
x26=65.9734457253857x_{26} = 65.9734457253857
x27=−100.530964914873x_{27} = -100.530964914873
x28=−43.9822971502571x_{28} = -43.9822971502571
x29=25.1327412287183x_{29} = 25.1327412287183
x30=21.9911485751286x_{30} = 21.9911485751286
x31=87.9645943005142x_{31} = 87.9645943005142
x32=−40.8407044966673x_{32} = -40.8407044966673
x33=−97.3893722612836x_{33} = -97.3893722612836
x34=43.9822971502571x_{34} = 43.9822971502571
x35=−53.4070751110265x_{35} = -53.4070751110265
x36=97.3893722612836x_{36} = 97.3893722612836
x37=100.530964914873x_{37} = 100.530964914873
x38=−94.2477796076938x_{38} = -94.2477796076938
x39=−31.4159265358979x_{39} = -31.4159265358979
x40=18.8495559215388x_{40} = 18.8495559215388
x41=78.5398163397448x_{41} = 78.5398163397448
x42=−18.8495559215388x_{42} = -18.8495559215388
x43=53.4070751110265x_{43} = 53.4070751110265
x44=47.1238898038469x_{44} = 47.1238898038469
x45=12.5663706143592x_{45} = 12.5663706143592
x46=81.6814089933346x_{46} = 81.6814089933346
x47=34.5575191894877x_{47} = 34.5575191894877
x48=−75.398223686155x_{48} = -75.398223686155
x49=−15.707963267949x_{49} = -15.707963267949
x50=50.2654824574367x_{50} = 50.2654824574367
x51=−81.6814089933346x_{51} = -81.6814089933346
x52=−3.14159265358979x_{52} = -3.14159265358979
x53=−59.6902604182061x_{53} = -59.6902604182061
x54=−28.2743338823081x_{54} = -28.2743338823081
x55=−87.9645943005142x_{55} = -87.9645943005142
x56=9.42477796076938x_{56} = 9.42477796076938
x57=−21.9911485751286x_{57} = -21.9911485751286
x58=−113.097335529233x_{58} = -113.097335529233
x59=56.5486677646163x_{59} = 56.5486677646163
x60=15.707963267949x_{60} = 15.707963267949
x61=84.8230016469244x_{61} = 84.8230016469244
x62=−78.5398163397448x_{62} = -78.5398163397448
x63=37.6991118430775x_{63} = 37.6991118430775
x64=−72.2566310325652x_{64} = -72.2566310325652
x65=−84.8230016469244x_{65} = -84.8230016469244
x66=69.1150383789755x_{66} = 69.1150383789755
x67=0x_{67} = 0
x68=28.2743338823081x_{68} = 28.2743338823081
x69=40.8407044966673x_{69} = 40.8407044966673
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*sin(x))/4.
2sin⁡(0)4\frac{2 \sin{\left(0 \right)}}{4}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)2=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi      
(--, 1/2)
 2       

 3*pi       
(----, -1/2)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)2=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)4)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{4}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)4)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{4}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*sin(x))/4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x)4=−sin⁡(x)2\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{4} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}
- No
2sin⁡(x)4=sin⁡(x)2\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{4} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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