Gráfico de la función y = 1/2x-7x^3

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{2} - 21 x^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{42}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{42}}{42}$$
Signos de extremos en los puntos:

    ____      ____  
 -\/ 42    -\/ 42   
(--------, --------)
    42       126    

   ____    ____ 
 \/ 42   \/ 42  
(------, ------)
   42     126   

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{42}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{42}}{42}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{42}}{42}, \frac{\sqrt{42}}{42}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{42}}{42}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{42}}{42}, \infty\right)$$