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Trazado el gráfico de la función/ 1/2x-7x^3

Gráfico de la función y = 1/2x-7x^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x      3
f(x) = - - 7*x 
       2
f(x)=−7x3+x2f{\left(x \right)} = - 7 x^{3} + \frac{x}{2} 
f = -7*x^3 + x/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−7x3+x2=0- 7 x^{3} + \frac{x}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−1414x_{2} = - \frac{\sqrt{14}}{14}
x3=1414x_{3} = \frac{\sqrt{14}}{14}
Solución numérica
x1=0.267261241912424x_{1} = 0.267261241912424
x2=−0.267261241912424x_{2} = -0.267261241912424
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/2 - 7*x^3.
02−7⋅03\frac{0}{2} - 7 \cdot 0^{3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12−21x2=0\frac{1}{2} - 21 x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4242x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{42}
x2=4242x_{2} = \frac{\sqrt{42}}{42}
Signos de extremos en los puntos:
    ____      ____  
 -\/ 42    -\/ 42   
(--------, --------)
    42       126    

   ____    ____ 
 \/ 42   \/ 42  
(------, ------)
   42     126


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−4242x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{42}
Puntos máximos de la función:
x1=4242x_{1} = \frac{\sqrt{42}}{42}
Decrece en los intervalos
[−4242,4242]\left[- \frac{\sqrt{42}}{42}, \frac{\sqrt{42}}{42}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−4242]∪[4242,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{42}}{42}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{42}}{42}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−42x=0- 42 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−7x3+x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 7 x^{3} + \frac{x}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−7x3+x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 7 x^{3} + \frac{x}{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/2 - 7*x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−7x3+x2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x^{3} + \frac{x}{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−7x3+x2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x^{3} + \frac{x}{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−7x3+x2=7x3−x2- 7 x^{3} + \frac{x}{2} = 7 x^{3} - \frac{x}{2}
- No
−7x3+x2=−7x3+x2- 7 x^{3} + \frac{x}{2} = - 7 x^{3} + \frac{x}{2}
- Sí
es decir, función
es
impar
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