Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x - 5}{x - 4} - \frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ -\/ 2 *\-14 + \4 - \/ 2 / + 5*\/ 2 /
(4 - \/ 2, --------------------------------------)
2
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ \/ 2 *\-14 + \4 + \/ 2 / - 5*\/ 2 /
(4 + \/ 2, ------------------------------------)
2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{2} + 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 - \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2} + 4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 - \sqrt{2}, \sqrt{2} + 4\right]$$