Sr Examen

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-x^2+2x+3
Trazado el gráfico de la función/ -x^2+2x+3

Gráfico de la función y = -x^2+2x+3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
f(x) = - x  + 2*x + 3
f(x)=(−x2+2x)+3f{\left(x \right)} = \left(- x^{2} + 2 x\right) + 3 
f = -x^2 + 2*x + 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x2+2x)+3=0\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^2 + 2*x + 3.
(−02+0⋅2)+3\left(- 0^{2} + 0 \cdot 2\right) + 3
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2−2x=02 - 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2=0-2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x2+2x)+3)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x2+2x)+3)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^2 + 2*x + 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x2+2x)+3x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x2+2x)+3x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x2+2x)+3=−x2−2x+3\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3 = - x^{2} - 2 x + 3
- No
(−x2+2x)+3=x2+2x−3\left(- x^{2} + 2 x\right) + 3 = x^{2} + 2 x - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -x^2+2x+3
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